支持向量机——硬间隔与软间隔最大化

前言：长的文字使人畏惧，《统计学习方法》这章真的很长

硬间隔最大化

本质

如果数据集线性可分
就是要找到一个超平面，使数据点可分，并且最小几何距离最大

用数学表示如下

\max_{w, b} \gamma
s.t.
y_i(\frac{w}{\left \| w \right \|}x_i + \frac{b}{\left \| w \right \|}) \geq \gamma, i = 1, 2, ...,N

其中 \gamma 表示最小几何距离，所以这个公式的意思就是，要找到一个超平面，使数据点可分，并且最小几何距离最大

引入几何间隔和函数间隔

对于任意一个超平面w_ix + b = 0以及点(x_i, y_i)。都有一个几何间隔。表示为

\gamma_i = y_i(\frac{w}{\left \| w \right \|}x_i + \frac{b}{\left \| w \right \|})

这就是一个计算点到平面的距离公式。

为了方便，引入函数间隔。

\hat{\gamma_i} = y_i(wx_i + b)

公式推导

  • 写出几何间隔与函数间隔之间的关系，得到
    \gamma = \frac{\hat{\gamma}}{\left \| w \right \|}

  • 将 \gamma 带入最上面的公式，得到

\max_{w, b} \frac{\hat{\gamma}}{\left \| w \right \|}
s.t.
y_i(wx_i + b) \geq \hat\gamma, i = 1, 2, ...,N

  • 可以取 \hat\gamma = 1 最终得到

\min_{w, b} \frac{1}{2}\left \| w \right \|^2

s.t.
y_i(wx_i + b) \geq 1, i = 1, 2, ...,N

  • 推导 \hat\gamma 为啥可以取 1

如果数据线性可分，那么一定存在这样一个所描述的几何间隔\gamma

由几何间隔和函数间隔的关系得出

\gamma = \frac{\hat{\gamma}}{\left \| w \right \|}
\hat\gamma = \gamma\left \| w \right \|

由于最后算出的 w 可以调节比例系数，所以一定存在一个w使得 \hat\gamma = 1

软间隔最大化

讲完硬间隔最大化，现在进入软间隔最大化。

数据集不是线性可分的，但是去掉一些点以后是线性可分的。在这个情况下使用硬间隔最大化，是不行的。因为根本就不能达到必要条件。

软间隔最大化，其实只是在硬件隔最大化的基础上改变了一点点

y_i(wx_i + b) \geq 1 - \varepsilon_i , i = 1, 2, ...,N

\varepsilon_i被称作松弛变量，相当于容忍了一部分线性不可分的现象。

此时，目标函数变为

\min_{w,b,\varepsilon}\frac{1}{2}\left \| w \right \|^2 + C\sum_{i=1}^{N}\varepsilon_i

所以最后变成了

\min_{w,b,\varepsilon}\frac{1}{2}\left \| w \right \|^2 + C\sum_{i=1}^{N}\varepsilon_i

s.t.

y_i(wx_i + b) \geq 1 - \varepsilon_i , \varepsilon_i \geq 0, i = 1, 2, ...,N

代码

GitHub

参考

  • 《统计学习方法》
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