递推方程_汽车租赁公司问题

递推方程

问题

有一家汽车租赁公司在奥兰多和坦帕都有分公司。历史数据揭示该公司每天约有60%在奥兰多出租的车辆换到了奥兰多，另外40%还到了坦帕，在坦帕分公司出租的车中，约有70%仍旧还到了坦帕，另外30%的车辆还到了奥兰多。

1. 动力系统模型

graph TD
A[奥兰多] -->|40%| B[坦帕]
B[坦帕] --> |30%| A[奥多兰]
A[奥兰多] -->|60%| A[奥兰多]
B[坦帕] --> |70%| B[坦帕]

2. 令n表示营业天数，定义

O_n = 第n天营业结束时在奥兰多的车辆数
T_n = 第n天营业结束时在坦帕的车辆数

3. 递推方程

$O_{n+1}=0.6O_{n}+0.3T_{n}$
$T_{n+1}=0.4O_{n}+0.7T_{n}$

4. 平衡点

平衡点是使系统不再发生变化的O_n和T_n的值
如果存在这样的平衡点，则同时有O=O_n+1=O_n和T=T_n+1=T_n
带入模型，给出下列对平衡点的要求

$O=0.6O+0.3T$
$T=0.4O+0.7T$

输入

Solve[o == 0.6 o + 0.3 t && t == 0.4 o + 0.7 t, {t, o}]

输出

{{o -> 0. + 0.75 t}}

$O=\frac{3}{4}T$ 满足这个方程组

5. 解递推方程

利用Rsolve[ ]求解上述递推方程，并令 o[0]=ovalue，t[0]=tvalue

输入

RSolve[o[n+1]==0.6o[n]+0.3t[n] && t[n+1]==0.4o[n]+0.7t[n] && o[0]==ovalue && t[0]==tvalue,{o[n],t[n]},n]

输出

{{o[n] -> 
   0.571429 5.6295*10^15^(-1. n) (1. 1.68885*10^15^n ovalue + 
      0.75 5.6295*10^15^n ovalue - 0.75 1.68885*10^15^n tvalue + 
      0.75 5.6295*10^15^n tvalue), 
  t[n] -> -0.571429 5.6295*10^15^(-1. n) (1. 1.68885*10^15^n ovalue - 
      1. 5.6295*10^15^n ovalue - 0.75 1.68885*10^15^n tvalue - 
      1. 5.6295*10^15^n tvalue)}}

mathematica运行结果

结果中给出 o[n]与ovalue、t[n]与tvalue 的函数关系
此时我们想要知道第n天奥兰多和坦帕的车辆数，只需要知道第0天时，两地的车辆数即可

6. 分析不同初始情况

	奥兰多 ovalue	坦帕 tvalue	第0天到第n天
情形 1	7000	0	8
情形 2	2000	5000	8

我们先用solution1和solution2分别将之前递推方程的解储存起来：

solution = 
 RSolve[o[n + 1] == 0.6 o[n] + 0.3 t[n] && 
   t[n + 1] == 0.4 o[n] + 0.7 t[n] && o[0] == ovalue && 
   t[0] == tvalue, {o[n], t[n]}, n];
solution1 = solution[[1]][[1]][[2]];
solution2 = solution[[1]][[2]][[2]];

情形 1

输入

data = Table[{n, solution1 /. ovalue -> 7000 /. tvalue -> 0}, {n, 0, 8}]
tdata = Table[{n, solution2 /. ovalue -> 7000 /. tvalue -> 0}, {n, 0, 8}]
ListPlot[{odata, tdata}, PlotRange -> {{0, 9}, {0, 7000}}, 
 PlotMarkers -> Automatic,
 Joined -> True, 
 PlotLegends -> {"奥兰多", "坦帕"}]

输出

输出中的表格 {x, y} 代表第x天，该地有多少辆车

情形 2

输入

odata = Table[{n, solution1 /. ovalue -> 2000 /. tvalue -> 5000}, {n, 0, 8}]
tdata = Table[{n, solution2 /. ovalue -> 2000 /. tvalue -> 5000}, {n, 0, 8}]
ListPlot[{odata, tdata}, PlotRange -> {{0, 9}, {0, 7000}}, 
 PlotMarkers -> Automatic,
 Joined -> True, 
 PlotLegends -> {"奥兰多", "坦帕"}]

输出

7. 初步结论

上述两种情形最后结果（O->4000，T->3000）偏向于平衡点的情况（ $O=\frac{3}{4}T$ ）
该系统平衡点是稳定的，对初始值不敏感

最后编辑于：2019.01.17 17:44:44