MPC模型预测控制(1)最优化控制和基本概念

写博客第一天：今天是入简书以来第一次写博客，把学到的知识记录并复盘下来！此外，本次博客完全参考哔站大佬DR_CAN的视频的内容，感兴趣的小伙伴可以看看他的视频，对我有很大的帮助！链接DR_CAN

最优化控制和基本概念：

最优化控制(Optimal Control)：Get the best performance within certain limitation 通俗来讲就是花最少的精力得到最满意的结果。

下图是一个典型的单输入单输出系统(SISO)：

控制框图

假设该系统是一个轨迹跟踪控制系统，其中e为轨迹跟踪误差，u为控制输入，因此当 $\int_{0}^{t}e^2dt$ 越小时，就表明该控制器的跟踪性能越好；当 $\int_{0}^{t}u^2dt$ 越小时，就表明该控制器的输入越小，能量消耗就越低。基于此，我们可以引出代价(目标)函数(Cost/Objective Function)：

$J=\int_{0}^{t} qe^2 +ru^2dt$

其中q和r为权重系数，当q远远大于r时，控制器看重误差；当r远远大于q时，控制器看重输入，可根据现实中不同的控制系统要求调节。而最优控制的目标就是使得代价函数J最小。

接下来介绍一下多输入多输出系统，一个典型的多输入多输出系统可表达为：

$\frac{dx}{dt}=Ax+Bu$

$Y=Cx$

其代价函数就可以写为：

$J=\int_{0}^{\infty} E^TQE +U^TQUdt$

其中Q、R分别为调节矩阵。

例如：

$\frac{dx}{dt} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=A \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}+B\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$

$R=\begin{bmatrix} r_{1} \\ r_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$E=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$

$E^TQE=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} q_{1} &0 \\ 0 &q_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= q_{1}x_{1}^2 + q_{2}x_{2}^2$