定义

泛函是一种特殊的函数，输入一个函数，返还一个数值。泛函的作用确实很大，可以用来定义各种对象的特征量。

数学是定量的描述，所以这个量的定义就非常基本，量的运算可以视为代数的内容。而量的定义要更加奇妙，从具体的事物中提取出数学对象，从数学对象中提取出量。

一个例子：面积

比方说图形的面积，就是数学对象的量，对象是图形，在二维情形下，可以是各种规则几何形，长方形，正方形，圆形，三角形，这些几何形可以视为包含可变参数的函数，比如长方形就可以视为包含长和宽两个参数的函数，圆形就是包含半径一个参数的函数。

它们的面积是一个数，所以求他们面积的方法，就可以看作一个泛函，输入一个几何形的函数，得到一个数，就是面积。

通常，面积本身就被当做一个函数，关于几何形参数的函数，定义几何形的函数反而被省略了，泛函也被省略了，所以对几何形面积的计算就变得很琐碎，对应一种形状就有一个公式，对于各种形状的几何形，需要记忆的公式非常多。

不过，学过微积分的人都应该知道如何计算任意形状图形的面积，只要对他们所占区域进行积分就可以了，区域本质上就可以视为几何形的定义函数，而积分正好是一个泛函，这就是一个很好的泛函模型。统一了各种几何形的面积计算，或者说面积定义。

推广

从上面的例子，我们可以看出这个模型是非常有效的，对于任意的由参数定义的数学对象，我们都可以使用泛函模型来定义出特征量。

比如方阵的行列式，就是对方阵各元素乘积组合的加权求和，这就是方阵这个数学对象的特征量，输入一个方阵，获得一个数。

比如流形上的几何形的面积，就是对几何形定义区域的度规张量加权积分的结果。与平面相比较，也就多了一个度规张量反映了流形的几何性质，扭转，拉伸，就比如一张弄皱的纸，它的面积还是不变的，但是形状却变得非常复杂，度规张量就体现了这种形状的复杂性。

还有很多很多的例子，只要涉及到了对离散量的加权求和，对连续量的加权积分，就可以使用泛函模型来解释。

更进一步

泛函模型还是有所限制的，是对特定函数指定一个数，我们都知道向量是数的推广，函数是向量的推广，所以我们当然可以对一个函数指定一个向量，甚至一个函数。

同样让我们从泛函模型来理解这些新的运算，泛函模型是对一个函数指定一个数，向量是很多数放在一起，所以对一个函数指定一个向量就可以视为很多个泛函组合在一起，构成了一个泛函向量(这个名称是我临时想的，不是通用的)。

比如，对于一个多元函数，求它在一点处的微分，获得的就是一个微分矩阵，矩阵就是高维的向量，每一个分量都是一个维度，所以，对多元函数求一点处微分的运算就是一个泛函向量，输入一个函数，输出一个向量。

还可以再次推广

函数可以视为无穷维的向量，所以，我们可以进一步推广，对一个函数指定一个函数，可以视为无穷多个泛函组合在一起，构成一个泛函函数(这个一般称为算子)。

比如，对函数的卷积运算，就是将一个函数转化为了另一个函数，类似的还有各种积分变换运算，如傅里叶变换，拉普拉斯变换，新的函数在每一点处都可以视为对原函数的一个泛函作用。

总结

泛函模型是一种非常好的概念理解模型，可以将形形色色的运算纳入统一的框架下，数学对象定义为一个函数，而经各式各样的泛函的作用，变成了数，随着泛函数目的增加，还可以变成向量，变成函数。分析中的几乎所有运算的含义都可以因此而变得清晰起来，不再是捉摸不透的黑箱子。

这个想法来源于范畴论对数学结构的清晰描述，对卷积本质的思考，还有一本值得推荐的书《烧掉数学书，重新定义数学》，作者注意到了数学概念下的泛函模型，并且尝试通过泛函模型，重建微积分。