课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容及引言

p.180 - p.190

在研究连续时间周期信号的傅里叶级数表示时，我们发现周期信号可以分解为一系列成谐波关系的复指数函数的和，这些成谐波关系的复指数函数的频率间隔为 $\omega _0$ ，随着周期信号的周期增加，其基频 $\omega _0$ 逐渐减小。当周期 $T$ 趋于无穷大时，这些频率分量的间隔变为无穷小，也就是说其在频率域中连续，从而傅里叶级数的求和也就变成了一个积分。连续时间的非周期信号的傅里叶变换就是通过推导一个周期趋于无穷大的周期信号傅里叶级数而得到的。

1. 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

1.1 非周期信号傅里叶变换的推导

研究一个连续时间周期方波，
$x(t) = \begin{cases} 1, &\vert t \vert <T_1 \\\\ 0, & T_1 < \vert t \vert < T/2 \end{cases}$

信号以周期 $T$ 重复。求其傅里叶级数系数
$a_k = \frac{2 \sin (k\omega _0 T_1)}{k\omega _0 T}$

理解上式的另外一种方法是将其看作一个包络函数的样本，即
$Ta_k = \frac{2 \sin (\omega T_1)}{\omega} \Bigg \vert _{\omega = k \omega _0}$

也就是说，如果将 $\omega$ 看作一个连续变量，则函数 $\frac{2 \sin (\omega T_1)}{\omega}$ 就是 $Ta_k$ 的包络，这些系数就是在包络上等间距取得的样本。

随着 $T$ 的增加，在包络 $Ta_k$ 上取样本的间距就在随之减小。随着 $T \to \infty$ ，傅里叶级数系数就趋近于这个包络函数。

这个例子就说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想。

现在考虑一个有限持续期的信号 $x(t)$ ，即存在一个 $T_1$ ，当 $\vert t \vert > T_1$ 时， $x(t)=0$ 。参考这个信号 $x(t)$ ，构造一个周期信号 $\tilde{x}(t)$ ，使得 $x(t)$ 就是 $\tilde{x}(t)$ 的一个周期。当把 $T$ 选的较大时， $\tilde{x}(t)$ 就在一个更长时间段上与 $x(t)$ 相等，随着 $T \to \infty$ ，对任意有限时间 $t$ 值而言，两个信号相等。

现在研究 $T$ 变化时， $\tilde{x}(t)$ 的变化。写出 $\tilde{x}(t)$ 的傅里叶级数综合方程和分析方程，
$\tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega _0 t}$

$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \tilde{x}(t) e^{-jk\omega _0 t} \mathrm{d} t$

因为当 $\vert t \vert < T/2$ 时， $\tilde{x}(t) = x(t)$ ，那么上面的分析公式可以变化为
$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-jk\omega _0 t} \mathrm{d} t$

又因为当 $\vert t \vert > T/2$ 时， $x(t) = 0$ ，所以又可以变化为
$a_k = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-jk\omega _0 t} \mathrm{d} t$

定义 $Ta_k$ 的包络线 $X(j\omega)$ ，
$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t$

这时系数 $a_k$ 可以写作
$a_k = \frac{1}{T} X(jk\omega _0)$

将这个系数 $a_k$ 的表达式代回到 $\tilde{x}(t)$ 的傅里叶级数综合公式中，有
$\tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} X(jk\omega _0) e^{jk\omega _0 t}$

又因为 $\omega_0 = 2\pi /T$ ，那么上式可变化为
$\tilde{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk\omega _0) e^{jk\omega _0 t} \omega _0$

随着 $T \to \infty$ ， $\tilde{x}(t)$ 就趋近于 $x(t)$ ， $\omega _0 \to 0$ ，上式就过渡为一个积分式，也就得到了连续时间非周期信号的傅里叶变换，
$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega$

$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t$

回过头来考虑 $x(t)$ 等于周期信号 $\tilde{x}(t)$ 的一个周期，那么周期信号 $\tilde{x}(t)$ 的傅里叶级数系数
$a_k = \frac{1}{T} X(j\omega) \Bigg \vert _{\omega = k \omega _0}$

上式就表明，周期信号 $\tilde{x}(t)$ 的傅里叶级数系数正比于一个周期内 $\tilde{x}(t)$ 的傅里叶变换的样本。

1.2 傅里叶变换的收敛

$x(t)$ 能量有限： $\int_{-\infty}^{+\infty} \vert x(t) \vert ^2 \mathrm{d} t < \infty$

这样就可以保证 $X(j\omega)$ 收敛，而且误差的能量值 $\int_{-\infty}^{+\infty} \vert e(t) \vert ^2 \mathrm{d} t = 0$ 。

也就是说，如果 $x(t)$ 能量有限，那么虽然 $x(t)$ 和其傅里叶表示 $\hat{x}(t)$ 或许在个别点上不相等，但是在能量上没有任何差别。（其中 $\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega$ ）

狄里赫利条件：狄里赫利条件充分保证了 $\hat{x}(t)$ 除了在不连续点之外，其余任意 $t$ 值上都与 $x(t)$ 相等，而在不连续点处， $\hat{x}(t)$ 等于 $x(t)$ 在不连续点两边值的平均。

$x(t)$ 绝对可积。 $\int_{-\infty}^{+\infty} \vert x(t) \vert \mathrm{d} t < \infty$
在任意有限区间内， $x(t)$ 只有有限个最大值和最小值。
在任意有限区间内， $x(t)$ 只有有限个不连续点，并且在不连续点处为有限值。

1.3 连续时间傅里叶变换举例

例4.1

$x(t) = e^{-at}u(t), \quad a>0$

$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t = \int_{0}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t = \frac{1}{a+j\omega}$

$\vert X(j\omega) \vert = \frac{1}{\sqrt{a^2 + {\omega} ^2}}$

$\sphericalangle X(j\omega) = - \arctan \bigg ( \frac{\omega} {a} \bigg )$

例4.2

$x(t) = e^{-a\vert t \vert}, \quad a>0$

$\begin{align*} X(j\omega) &= \int_{-\infty}^{0} e^{at} e^{-j\omega t} \mathrm{d} t + \int_{0}^{+\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} \mathrm{d} t \\ &= \frac{1}{a-j\omega} + \frac{1}{a+j\omega} \\ &= \frac{2a}{a+\omega ^2} \end{align*}$

例4.3

$x(t) = \delta (t)$

$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t = 1$

例4.4

$x(t) = \begin{cases} 1, &\vert t \vert < T_1 \\ 0, &\vert t \vert > T_1 \end{cases}$

$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t = \int_{-T_1}^{T_1} e^{-j\omega t} \mathrm{d} t = \frac{2 \sin \omega T_1}{\omega}$

这个矩形脉冲信号依然会存在吉布斯现象。

例4.5

$X(j\omega) = \begin{cases} 1, &\vert \omega \vert < W \\ 0, &\vert \omega \vert > W \end{cases}$

利用综合公式可以求得
$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-W}^{W} e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega = \frac{\sin Wt}{\pi t}$

从例4.4和例4.5可以看出傅里叶变换的对偶性，下一课的笔记再讨论这个性质。

引入sinc函数，
$\mathrm{sinc} (\theta) = \frac{\sin \pi \theta}{\pi \theta}$

那么例4.4和例4.5的结果就可以表示为sinc函数，
$\frac{2 \sin \omega T_1}{\omega} = 2T_1 \mathrm{sinc} \bigg ( \frac{\omega T_1}{\pi} \bigg)$

$\frac{\sin Wt}{\pi t} = \frac{W}{\pi} \mathrm{sinc} \bigg ( \frac{Wt}{\pi} \bigg)$

2. 周期信号的傅里叶变换

为了在同一个框架下研究周期信号和非周期信号，我们对周期信号也建立傅里叶变换表示。

考虑一个信号 $x(t)$ ，其傅里叶变换为
$X(j\omega) = 2\pi \delta (\omega - \omega _0)$

利用逆变换公式，求得 $x(t)$ ，即
$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega = e^{j\omega _0 t}$

对上面的公式加以推广，如果
$X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2 \pi a_k \delta (\omega - k \omega _0)$

那么
$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega _0 t}$

因此，一个傅里叶级数系数为 $\{ a_k \}$ 的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生在第 $k$ 次谐波频率 $k\omega _0$ 上的冲激函数的面积是第 $k$ 个傅里叶级数系数 $a_k$ 的 $2\pi$ 倍。

例4.6

再次考虑周期对称方波 $x(t)$ ，其傅里叶级数系数
$a_k = \frac{\sin k\omega _0 T_1}{\pi k}$

因此该信号的傅里叶变换为
$X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2 \pi a_k \delta (\omega -k \omega _0) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin k\omega _0 T_1}{k} \delta (\omega -k \omega _0)$

开刷：《信号与系统》第4章 Lec #8 连续时间傅里叶变换