姓名：吴晓春
学号：19021210988
转载自：https://blog.csdn.net/dongdaxiaobai/article/details/90726038
1、频谱分析的一个盲点
很多时候我们说：“这个信号频率很高”，或者“这是一个低频信号”。
这句话看起来没问题，实际上有一个大问题。那就是，我们说的“频率”是真实的吗？
在傅里叶级数里面，我们所有的周期信号，实际上都默认它是从无穷远到无穷远的。这个信号分布在整个时间轴上。但实际的信号，就我们观测的时间而言，是有限的。假设你打开一个信号发生器，产生了一个1kHz的正弦波，并定义此时刻为t1。十秒种后你关掉了这个信号源，那么实际上你得到的时域信号，只是一个（t1,t1+10）上的正弦波形。而其他时刻都是0。
但是，如果我一定要说，这个信号是非周期的连续能量有限信号，它的频率成分是连续的频谱。你一定会打死我。因为信号源产生的就是1Khz的正弦波。而且在你观测的时间内，它确实在每1s就产生1000次振荡。于是你理所当然地认为，这个信号的频率就是1Khz。在这个过程中，你已经脑补了这个信号是永生的，信号发生器相当于一个“窗户”，你打开它，看到了这个正弦波，你关上它，它并没有消失，只是你关上窗户，看不到了而已。
为什么你摇头能听见大海的声音？因为你在脑补信号无限延续，数学上就是周期延宕操作。
2、
上面的脑补操作，多数时候对我们实际运用完全没有影响。因为从系统的角度讲，它处理的信号是持续1s还是1万年没有区别。一个RC低通滤波，你的信号发生器一旦work，不考虑开机的建立和关机的拖尾，输出稳定后用示波器看到的东西是一样的。
但假如说你想和信号源solo一把，pk一下手速，不停地按开机、关机、开机、关机…这个时候，示波器上看到的东西可能就有变化了。特别是如果你像我一样单身三十年，手速够的话，示波器上的信号会产生一个新的频率成分，就是麒麟臂的速度。
3、
DFT的操作，本质上就是一个麒麟臂。
DFT里面经典的操作是，取一个1024点的FFT。（更一般地是取FFT，由于FFT本身是DFT的快速算法，所以本文只讲DFT）
假如你的采样频率是1M。那么，相当于你截取了时长1024us的信号。
在你的脑海里，这个信号的脑补波形和原来的波形是完美复制粘贴的。但对DFT，情况就不一样了！它无法判断你取到的到底是不是一个完整的信号周期，还是2个，3个，或者是0.3个，3.5个。它脑补的操作，就是把我采样到的信号当成一个完整的周期去看。
根据傅里叶级数的想法，任何周期信号都可以通过一系列以信号周期为基波的谐波叠加得到。从时域上讲，一个周期信号，假定它的周期是T,那么用一组弦波cos和sin可以合成这个波形，这组弦波在周期T里面分别振荡0次，1次，2次，3次…如果信号的某一阶导数不连续，那么就需要无穷多个这样的弦波。每个弦波对应的幅度和初相位，通过正交计算可以从原始信号中提取出来。
那么现在DFT也是一样的，对于fs的采样率，采了N个点的信号，总共花费了N/fs秒，意味着我的基波频率就是fs/N，也就是所谓的频率分辨率。看起来，我的波形都需要依靠0倍，1倍，2倍，3倍…无穷多倍的fs/N构成的谐波去合成了。
4、上述操作过程存在着两个问题，
第一个问题是明显的，就是：如果信号频率是1Khz，（准确讲是脑补的信号频率）。而DFT的截取时间不够准确，就像上面说的，1MHz采样1024点，基波是1MHz/1024约等于976.56Hz，那么DFT的结果就不对了；
第二个问题，或者其实也不是问题，就是按照傅里叶级数求解的方法，我们在计算中会发现用不了无穷多个谐波。首先来看第二个问题，因为这是一个数学问题。
5、
在傅里叶级数里面，计算谐波系数用的是积分：系数=在一个周期上对信号和谐波的共轭（如果用复数形式）乘积做积分，再除以周期的长度。相当于对信号在这个谐波上的能量均值即功率做了一个提取。（从这个角度看不难理解帕塞瓦尔定律）
在DFT里面，我们用离散的点求和去取代积分。系数=在一个周期内所有采样点和谐波共轭的乘积求和，再除以周期长度。由于离散点本身没有长度，所以我们用点的总数N来代替这个长度。换个角度看，如果除以的是周期长度N/fs，那么每个离散点也要乘上对应的时间1/fs，这就相当于黎曼积分的定义了：用一系列矩形的面积总和来近似整个曲线下方的面积。所以分子分母上可以同时约掉这个1/fs。这样得到DFT的定义式：
第一个推导是完完全全类比傅里叶级数得到的。现在回到刚刚讲的问题，式子里面k需要取无穷多项吗？
看起来是这这样的。但注意到，。如果这里红色的fs=1，Ck就具有周期性，周期和采样点的数目一样。问题是fs能等于1吗？答案是ok。注意到时间ti，如果把它写成，就可以得到第二个式子，也就是DFT的标准形式。
注意这时所谓Ck的周期性已经没有时间概念了，只是指数学上Ck的值，满足对任意k,。
但这里还存在一个问题，就是刚刚的推导，只能说明在计算上Ck只需要取遍一个周期的N个点即可，但物理上，我还是需要所有的波形去合成吗？答案是NO。
之所以DFT信号只需要一个周期谐波分量而不是所有谐波，原因在于DFT的数据是离散的，或者说信息是不完全的。这种不完全导致的结果就是，高次的谐波成分在DFT看起来和低次没有区别，被“混叠”到了低频。换句话说，DFT已经默认了能够被表示的信号，只能是奈奎斯特频率以下的部分。为了进一步说明这个问题，考虑一个简单的2点DFT，数据是[1,-1]假设采样率是1Hz，那么基波就是，对应DFT下的谐波是等等。现在考虑2s时间内对这些波都取首尾两个点，会发现这些信号的值都是一样的。换句话说，由于采样特性造成高次谐波的混叠，信号无法分辨原始波形的频率究竟是高频还是低频。对采集到的离散信号而言，低频成分（这个例子里面就是）就能够得到采样的的数据。
通过这里的分析，同样可以明白奈奎斯特采样定理究竟是怎么发挥作用的，即，为了确保DFT的准确性，我要求信号频率不能超过奈奎斯特频率，这样才能保证DFT得到的一个周期内的谐波信号能够去合成原始波形。
6、DFT和连续信号频谱
对于一个满足L2收敛即平方可积的实际信号（一般情况下即功率是有限值），我们可以用傅里叶变换得到它的频谱。对比DFT和傅里叶变换的公式，发现DFT相当于对这个频谱做了采样,只是差了一个系数Ts/N。（和傅里叶级数到傅里叶变换里面周期移到等号左边的操作是一样的）
对比上面的DFT，在Fourier Transform中，把取DFT的谐波量，再用矩形面积和代替原来的积分，注意把微分量dt替换成1/fs，再除以采样总时间Ts=N/fs，得到的就是Ck。
注意，这里提到的“采样”是不准确的，因为标准的采样用的是脉冲序列，而DFT是离散的实际信号。体现在数学上的差异就是计算中用求和代替了积分（DFT基础 这个帖子里面分析了这种差异）。这个差异就是加窗和频谱泄露的根源。
7、加窗和频谱泄露
现在回到第一个问题，对一个实际的信号，如果它的频率不是DFT的“谐波”，在这种情况下，得到的DFT信号是不准确的。那么，这样得到的DFT意义何在？
意义在于，如果我的采样频率足够高，或者取的点数足够多，也就是提高频率分辨率。那么DFT的结果就可以不断逼近真实的频率成分。以最初的例子，1M采样率1024点的DFT不能很好地去分辨1KHz，但2KHz，2048点的FFT却能够很好地检测0.97Hz的变化，就可以找到1KHz。更一般地，对于一个未知信号，我不知道它具体频率成分时，用高分辨率的DFT可以得到非常理想的近似结果。从信号的角度来看DFT, cos(1000 t)和cos(1000.001 t)从t=0到100时差别其实并不大。在短暂时间里可以认为两者近似相等，这就是DFT的实用价值。
但是，有没有可能存在一种情况，就是频率分辨率再高，也无法正确判断。或者从信号角度看，cos(1000 t)和cos(1000.001 t)在t变大，比如t=1000以后，会出现很大的“分离”，不再那么接近。对应DFT，就是栅栏效应。
另一个问题是，DFT的取点总是有限的，这等于对信号做了一个最一般地加窗操作，即原始信号乘以某个长度为NTs的矩形窗，再进行采样。这和连续信号里面用无限长脉冲序列去采样是不同的。矩形窗的连续时间频谱是Sa函数，所以相当于原始信号的频谱卷积Sa函数，这就造成了DFT采样的频谱实际上是“窗口”函数乘以原始信号后的频谱。
用一开始的思路去理解这个窗口就更容易了。最开始我们提到，信号源产生的这个波形实际上是有限的，但我们脑补他是一个无限的信号。同样，DFT采集的波形也是有限的，而且这个采集不能被脑补成无限的，因为机器计算的总是有限个点。这样，可以看出，DFT本身的加窗操作对信号的频谱是有畸变作用的。
矩形窗的频谱图如a.本质上就是Sa函数的模量取对数以后得到的（虽然看起来没有Sa那么优美了，但确实是一个东西）。窗函数中间最大的凸出是主瓣，两边是旁瓣。更加卷积特性，可以知道信号加窗以后的频谱被拓宽了，信号实际上发生了变形。为了抵消这种畸变，引入了汉明窗、布莱克曼窗等等来改善频谱，但不论怎么改善，总会存在某根谱线正好落在旁瓣上，换句话说，信号中本来没有的频率成分，由于加窗导致在原有的频率成为周围出现了不期望的频率，这就是频谱泄露。
