漫游第45篇读书笔记
数学之美，可以有多种形式，最核心的一点是，它能够在复杂的研究对象和简洁的表达式之间建立起令人目眩神迷的联系。——米卡埃尔·洛奈
大家好，我是漫游。
今天和您分享的是《万物皆数》，作者米卡埃尔·洛奈。
《万物皆数》就像《天才与算法》的前传，讲述了数学从上古时期的陶罐装饰、黏土筹码……发展到今天的人工智能算法。
数字是怎样诞生的？数学研究的是什么？我们的日常生活为什么离不开数学？
如果你也对这些问题感兴趣，不妨打开这卷跨越数千年的数学史话，一探数学的前世今生。
01 几何的密语：腰线、密铺、堆垛
早在2万年前，人类已经使用火烧黏土定型的方法烧制小型陶像。到了新石器时代，人们开始烧制定居生活需要的存储工具：陶器。陶器被称为考古学的 “标准化石”，是解读古代文明最关键的材料之一。这场数学之旅就从陶器上的腰线开始。
腰线，就是绕陶器一周的装饰线条。腰线形态虽然多种多样，却揭示出一个关于几何变换的秘密：一维带状图案，只有 7 种对称变换类型。在史前时期美索不达米亚的陶罐上，可以找到全部的7种腰线。
腰线是某个图案在一个方向上不断重复，密铺则是某个图案在平面的两个方向上不断重复。几何定理已经证明，有且仅有17种类型的密铺。在阿拉伯统治西班牙时期建造的阿尔罕布拉宫中，我们可以看到它们的身影。
维度增加，复杂性大幅提升。堆垛是相同的几何结构在三维空间上的重复出现，这种“3D密铺”共有230种类型。研究几何变换可不仅仅为了装饰，这种对称性和重复性的结构在大自然中广泛存在，比如晶体、病毒。
02 自然界的几何学：晶体、病毒、分形
生活中晶体无处不在，研究“3D密铺”可以帮助我们理解晶体结构。由立方体、六角棱柱等构成的堆垛是最简单的一类，以立方体堆垛为例，立方体彼此相嵌，在各个方向向外延伸。比如我们熟悉的食盐-氯化钠晶体就属于此类结构。
立体结构中还有一种特殊类型：正多边体。几何定理告诉我们，只存在5种正多边体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。生活中的骰子、足球等，都是正多边体及其变形。正多边体结构可不仅限于人造物体，一些微生物在自然的情况下就呈现正十二面体或正十二面体的形状，比如大部分伤风感冒的罪魁祸首-鼻病毒。
法国数学家本华·曼德博用非常简单的规则创建了一个数列：zn+1=zn2+c。得益于计算机的发展，人们获得了“曼德博集合”的几何图形，神奇之处就在于它可以无限放大的、自相似的边界。
1975年，曼德博首次提出了"分形"这一概念。分形是大自然的代码，从根系到树枝、从河流到海岸、从雪花到闪电、从血管到大脑皮层的褶皱，从微观粒子到宏观星系……这种"局部与整体自相似"的结构是宇宙中的普遍存在。
分形还有一个特殊的指标：分形维度D。传统几何中，线、面、体的维度分别是整数1、2、3，而分形打破了这一限制。如果1
从密铺的重复与对称，到分形的自相似与分数维，都展现出大自然的效率优化策略。正是通过“数学”这一语言，人类得以解读宇宙的密码。
03 数字的诞生：零、负数、虚数
数量、距离、时间……我们的生活离不开数字。数字是怎么产生的呢？在公元前4000年的乌鲁克城（苏美尔文明成型期）遗迹中，有一种记录物品的黏土筹码，比如用有十字标记的小圆饼代表一只羊，筹码数量就代表羊的数量。这时，数字还和具体物体结合在一起。
公元前3000年初期，数字从被计量的物体中解放出来。人们不再用8个代表羊的符号表达8只羊，而是用数字8加上一个羊的符号。这一刻，数字从现实中抽离出来，开始独立存在。数字具有了抽象性，而这正是数学的属性：数学是格外抽象的一门科学。数学研究的不是物质，而是想法。
零和负数的出现是一项重大的数学发明。之前，“0”仅用作字符，起标识作用。公元628年，印度学者婆罗摩笈多发表的《婆罗摩修正体系》中，首次出现对数字零和负数，以及它们的运算性质的完整描述。
零为我们打开通往负数的大门。正、负数使加法和减法成为同一种运算的两个方面，就像整数、分数整合了乘法和除法。
还有一种“复杂的数”即将登场，它与直觉相悖，难以理解。它就是虚数，来自人们对三次方程的求解探索。人们发现用来解三次方程的卡当公式似乎需要计算负数的平方根，但按照正正得正、负负得正的运算规则，所有平方的结果均为正数，什么数的平方会是负数？
17世纪初，笛卡尔将这种新的数称为“虚数”，这个命名沿用至今。虚数的出现，统一了方程次数与解的数量。没有虚数时，一个二次方程可能有2个解、1个解、或者没有解；有了虚数，一切变得简洁：所有二次方程都有2个解。不仅如此，19世纪初德国数学家高斯证明：一个方程式的解的数量等于它的次数。
数学之美，可以有多种形式，最核心的一点在于，它能够在复杂的研究对象和简洁的表达式之间建立起令人目眩神迷的联系。虚数就是一个完美的例证。
虚数打开了一扇通往新的代数结构的大门，从此，数字不再仅仅代表“数量”，而是代表含义更广的“元素”。
04 数学的趋向：抽象性与普遍性
数学发展的整体动态，趋向于抽象性和普遍性。体现这一过程的不仅是数字，数学思维本身也是如此。古希腊时期的数学思维是几何化的，例如对于乘法运算3*5=15，《几何原本》的运算方法就是用一个宽、长分别为3和5的长方形面积来体现。
来到花拉子密的时代，他开创性地使用结构性和抽象的写法，以一种独立于问题本身和具体数字的“表达方式”，来介绍解决问题的过程，后来人们将其称为“方程式”。而我们所熟悉的+、-、*、/、=等运算符号，直到1460年之后才陆续登场。
数学的抽象化极大拓展了人类的思维。我们存在于时空之中，对于三维事物很容易理解，相对论引入第四维-时间，维度再增加就超出我们直觉的想象了。但在代数的世界中，没有维度限制。增加一个维度仅用增加一个元素，（a,b,c,d）->（a,b,c,d,e），如此简单。
维度的增加，意味着系统的自由度和复杂性的显著提升，是数学从“简单”走向“丰富”的标志。高维代数工具不仅推动数学自身向更普适的方向发展，也成为刻画真实世界复杂系统的自然语言，比如机器人运动规划。
巴贝奇计算器被称为历史上第一台计算机，使用它之前，人们必须先将想要的运算转化成打孔卡。英国数学家阿达·洛夫莱斯为此编写了一段用来计算伯努利数列的复杂代码，这段代码被认为是世界上第一个计算机程序，阿达·洛夫莱斯也被称为“人类历史上第一个程序员”。
今天的世界已进入人工智能时代，由代码写就的算法怎么好像拥有了“自己的想法”呢？这一切依托的仍是数学。概率论将“随机性”引入算法，AlphaGo通过概率思维进行权衡与决策；拓扑学推动深度学习算法突破"维度灾难"，实现高效迭代；混沌理论带来不可预测性，帮助AI进化到能够“驾驭不确定性”……
05 结语
毕达哥拉斯断言“一切皆数”，伽利略认为“宇宙这本书由数学写就”，发现混沌理论的法国数学家庞加莱说“数学是一门赋予不同事物以同样名字的艺术。”可能比起其他科学，数学更接近艺术，因为数学家同时寻找真相和美。
或许通过这段跨越千年的数学之旅，我们这些“闻数色变”的外行人，也能对数学之美领略一二。
