最小生成树
1. 最小生成树的定义
定义一个无向图
-
树：
- 图中没有环形结构
- 必须链接图结构中的所有顶点
无向图：对于有N个顶点的无向图，其边的数目为N-1
最小： 权值和最小的树
2. 如何构建最小生成树
目标：权值和最小 → 每一步都选择权值最小的边
区别：两种方法达到目标的方法不同
- Kruskal : 直接选择
- Prim : 从顶点出发，间接选择
2.1 Kruskal 克鲁斯卡尔算法
应用场景——公交站问题：
公交站问题.png
- 某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G),现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示（权），比如A-B距离12公里
- 问：如何修路保证各个站点都能连通，同时总的修建公路里程最短？
步骤：
-
将图中所有的数据都取出，放入一个列表中
Edge Weighted A-B 12 F-B 7 C-B 10 F-C 6 E-C 5 D-C 3 E-D 4 F-E 2 A-F 16 G-F 9 E-G 8 A-G 14 按照边权值由小到大排序：
Edge Weighted F-E 2 D-C 3 E-D 4 E-C 5 F-C 6 F-B 7 E-G 8 G-F 9 C-B 10 A-B 12 A-G 14 A-F 16
- 从列表中每次取出一条边，回添到图中； 每填入一条边，都要进行一次判断，当前图中是否产生了环形
没形成： 改边被选中，成为最小生成树的一条边
形成了： 抛弃该边，接着判断列表中的下一条边 - 直到已经选择了N-1条边，停止； 最小生成树构建完成
克鲁斯卡尔算法要解决的两个问题：
- 对图的所有边按照权值大小进行排序
- 将边添加到最小生成树时，怎样判断是否形成了环形回路
问题一：采用排序算法
问题二：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点时“在最小生成树中的它连通的最大顶点”。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断改边的两个顶点的重点是否重合，重合则构成回路
环路判断.png
将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点都有了终点,F的编号最大：
(01) C的终点是F
(01) D的终点是E
(01) E的终点是F
(01) F的终点是F
关于终点的说明：
- 就是将所有顶点按照从小大到的顺序排列好以后；某个顶点的终点就是“与他连通的最大顶点”
- 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边，但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同。因此，将<C,E>加入最小生成树的话会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，在加入之前判断，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则构成回路
- 构建基本图:
package Kruskal;
public class MyKruskal {
//1.构建无向图
private int edgeNum;
private char[] vertexs;
//邻接矩阵
private int[][] matrix;
//使用 INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
//构造方法
public MyKruskal(char[] vertexs, int[][] matrix) {
//初始化顶点数和边的个数
int vertexLength = vertexs.length;
//初始化顶点
this.vertexs = new char[vertexLength];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
//初始化边
this.matrix = new int[vertexLength][vertexLength];
for (int i = 0; i < vertexLength; i++) {
for (int j = 0; j < vertexLength; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
//统计边数目
for (int i = 0; i < vertexLength; i++) {
for (int j = i+1; j < vertexLength; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
//打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为：");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%11d", matrix[i][j]);
}
//每打一行。换行
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//连通：权值 ； 自己跟自己0 ； 不能连通INF
int[][] matrix = {
{0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
{12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
{INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
{INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
{INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
{16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
{14, INF, INF, INF, 8, 9, 0},
};
MyKruskal kruskal = new MyKruskal(vertexs, matrix);
kruskal.print();
}
}
- 创建类EdgeData，它的对象实例表示一条边
//表示一条边 —— 两个顶点，权值
class EdgeData {
char start;
char end;
int weight;
public EdgeData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
/***
* 重写toString方法
* @return
*/
@Override
public String toString() {
return "EdgeData{" +
"start=" + start +
", end=" + end +
", weight=" + weight +
'}';
}
}
添加的工具方法：
- 对边按权排序：void sortEdges(EdgeData[] edges)
- 给定顶点的值'A' 'B'...返回其在顶点集合中对应的下标： int getPosition(char vertex)
- 根据邻接矩阵matrix生成边数组： EdgeData[] getEdges()
- 过去下标为i的顶点对应的终点下标：int getEnd(int[] ends, int i)
- 克鲁斯卡尔: 填充result数组，统计并打印最小生成树，打印result数组
/***
* 对边进行排序
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdge(EdgeData[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
EdgeData temp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = temp;
}
}
}
}
/***
*
* @param vertex 传入顶点值 'A' 'B'
* @return 顶点对应下标，如果找不到返回-1
*/
private int getPosition(char vertex) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == vertex) {
return i;
}
}
return -1;
}
/***
* 功能：获取图中的边，放到EdgeData[]数组中，随后需要遍历该数组
* 是通过matrix邻接矩阵来得到
* EdgeDatap[] 形式 [['A','B',12],['B','F',7], ... ]
* @return
*/
private EdgeData[] getEdges() {
int index = 0;
EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EdgeData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/***
*
* 功能：获取下标为i的顶点的终点()，用于判断两个顶点的终点是否相同
* @param ends 数组，记录了各个顶点对应的终点是哪个， ends是动态生成的
* @param i 传入的顶点对应的下标
* @return 返回的是下标为i的顶点的终点的下标
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
public void kruskal() {
int index = 0; //表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组，保存最小生成树
EdgeData[] result = new EdgeData[edgeNum];
//获取图中所有边的集合, 初始有12条边
EdgeData[] edges = getEdges();
//按边权值排序
sortEdge(edges);
//遍历edges数组， 将边添加到最小生成树时，判断是否形成回路，如果没有构成回路就加入结果result，否则不能加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
//获取第i条边的第1个顶点
int start = getPosition(edges[i].start);
//获取第i条边的第2个顶点
int end = getPosition(edges[i].end);
//获取start顶点在已有最小生成树中对应的终点
int terminal1 = getEnd(ends, start);
//获取end顶点在已有最小生成树中对应的终点
int terminal2 = getEnd(ends, end);
//判断是否构成回路
if (terminal1 != terminal2) {
ends[terminal1] = terminal2; //设置terminal1在已有最小生成树中的终点
result[index++] = edges[i];
}
}
//统计并打印最小生成树result
System.out.println("最小生成树为：");
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(result[i].toString());
}
}
完整代码：
package Kruskal;
import java.util.Arrays;
public class MyKruskal {
//1.构建无向图
private int edgeNum;
private char[] vertexs;
//邻接矩阵
private int[][] matrix;
//使用 INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
//构造方法
public MyKruskal(char[] vertexs, int[][] matrix) {
//初始化顶点数和边的个数
int vertexLength = vertexs.length;
//初始化顶点
this.vertexs = new char[vertexLength];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
//初始化边
this.matrix = new int[vertexLength][vertexLength];
for (int i = 0; i < vertexLength; i++) {
for (int j = 0; j < vertexLength; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
//统计边数目
for (int i = 0; i < vertexLength; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexLength; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
//打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为：");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%11d", matrix[i][j]);
}
//每打一行。换行
System.out.println();
}
}
/***
* 对边进行排序
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdge(EdgeData[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
EdgeData temp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = temp;
}
}
}
}
/***
*
* @param vertex 传入顶点值 'A' 'B'
* @return 顶点对应下标，如果找不到返回-1
*/
private int getPosition(char vertex) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == vertex) {
return i;
}
}
return -1;
}
/***
* 功能：获取图中的边，放到EdgeData[]数组中，随后需要遍历该数组
* 是通过matrix邻接矩阵来得到
* EdgeDatap[] 形式 [['A','B',12],['B','F',7], ... ]
* @return
*/
private EdgeData[] getEdges() {
int index = 0;
EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EdgeData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/***
*
* 功能：获取下标为i的顶点的终点()，用于判断两个顶点的终点是否相同
* @param ends 数组，记录了各个顶点对应的终点是哪个， ends是动态生成的
* @param i 传入的顶点对应的下标
* @return 返回的是下标为i的顶点的终点的下标
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
public void kruskal() {
int index = 0; //表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组，保存最小生成树
EdgeData[] result = new EdgeData[edgeNum];
//获取图中所有边的集合, 初始有12条边
EdgeData[] edges = getEdges();
//按边权值排序
sortEdge(edges);
//遍历edges数组， 将边添加到最小生成树时，判断是否形成回路，如果没有构成回路就加入结果result，否则不能加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
//获取第i条边的第1个顶点
int start = getPosition(edges[i].start);
//获取第i条边的第2个顶点
int end = getPosition(edges[i].end);
//获取start顶点在已有最小生成树中对应的终点
int terminal1 = getEnd(ends, start);
//获取end顶点在已有最小生成树中对应的终点
int terminal2 = getEnd(ends, end);
//判断是否构成回路
if (terminal1 != terminal2) {
ends[terminal1] = terminal2; //设置terminal1在已有最小生成树中的终点
result[index++] = edges[i];
}
}
//统计并打印最小生成树result
System.out.println("最小生成树为：");
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(result[i].toString());
}
}
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//连通：权值 ； 自己跟自己0 ； 不能连通INF
int[][] matrix = {
{0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
{12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
{INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
{INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
{INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
{16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
{14, INF, INF, INF, 8, 9, 0},
};
MyKruskal kruskal = new MyKruskal(vertexs, matrix);
kruskal.print();
// EdgeData[] edgeData = kruskal.getEdges();
// System.out.println(Arrays.toString(edgeData));
// kruskal.sortEdge(edgeData);
// System.out.println("排序后");
// System.out.println(Arrays.toString(edgeData));
kruskal.kruskal();
}
}
//表示一条边 —— 两个顶点，权值
class EdgeData {
char start;
char end;
int weight;
public EdgeData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
/***
* 重写toString方法
* @return
*/
@Override
public String toString() {
return "EdgeData{" +
"<" + start +
", " + end +
">=" + weight +
'}';
}
}
