摘要
SVD (Singular Value Decomposition,奇异值分解)揭示了线性变换的本质，对一个矩阵进行奇异值的过程，就是将一个复杂的，难以直观理解的线性变换，分解为多步直观的变换的过程。矩阵的奇异值分解，可以与傅里叶变换类比。
1 SVD的涵义
我们已经知道矩阵的奇异值分解形式如下
其中和
均为酉矩阵（正交矩阵在复数域的拓展，即
）。
事实上，对于矩阵的奇异值分解，将一个通用线性变换分解成为了“旋转
拉伸
旋转”三个简单的变换，接下来将通过一个实例展示这个过程。
为了展示线性变换（矩阵）的效果，我们以单位圆为载体。若
表示单位圆上的任意一点，则对单位圆上的每一点进行运算:
,变换效果如下：
单位圆线性变换效果
线性变换分解
奇异值分解流程
由此可见，奇异值的大小在线性变换中的作用极为重要。在上述实例中，若奇异值,则经过拉伸变换之后的单位圆将接近一条直线，这条直线就是当时对应的线性变换结果。
2 SVD的求解
由于“实对称矩阵必定可以正交对角化”，则对于任意矩阵的奇异值分解过程可按照下述流程进行。
又
即
设
其中均为列向量。
则有
3 SVD的应用
- 图像压缩
- PCA（Principal Component Analysis）
- 线性超定方程组的最小二乘解
