矩阵分析学习笔记（一）-矩阵的分解

LR分解

定理：存在单位下三角阵L和可逆上三角阵R，使得A=LR的充分必要条件是A的各阶顺序主子阵A_k可逆。
例：将矩阵A分解为单位下三角阵L和可逆上三角阵R的乘积。
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{bmatrix}
解：只需要对A用r_i+kr_j类行初等变换，其中j<i（这是为了保证右半边始终为下三角，取其逆则为上三角）。
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -4 & -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \ \rightarrow\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -5 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 &-24 & -11 & 4 & 1 \end{bmatrix}
取
R=\left[ \matrix{ 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -5\\ 0 & 0 & -24\\ }\right],L^{-1}=\left[ \matrix{ 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -11 & 4 & 1\\ }\right]
则有
L=\left[ \matrix{ 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -5\\ 0 & 0 & -24\\ }\right]
则有A=LR。

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