对于线性分类问题，线性分类向量机是一种非常有效的方法。但是，当分类变得不线性，线性分类向量机就会失效，我们就需要新的方法去解决，那就是非线性向量机，而在非线性向量机中，一种非常重要的方法就必须要知道，那就是核函数。

核函数运用广泛，不仅应用于支持向量机，而且在很多统计学问题上都扮演重要作用。

对于我本人来说，因为之前也涉猎过核函数，因此，在理解上可能相对快一点。
网上有很多对核函数的介绍，知乎上的介绍我印象很深，有兴趣的可以搜一下。
核函数的入门理解还是要从，将二维非线性问题转化为三维线性问题。

示例1.png

原本线性不可分的问题瞬间变成了线性分割面可以分类的问题。很神奇！
具体实现的手段就是增加维度。

举个简单例子

示例2.png

上图中，我们发现x1,x2是非线性分类，于是我们通过变化，z=phi(x)，我们发现，z1,z2是线性分类问题。

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?w^T*z+b=0)
![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?z=\phi(x))

这里的phi(x)便是映射函数。

讲到这里，会有一个基础想法就是，如果我们求出映射，那么我们就可以轻而易举将非线性分类问题转化为线性分类问题。

引入核函数

• 核函数的定义

定义1.png

其实白话理解就是，假设存在映射函数phi(x)，对初始空间所有的x,z，存在

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?K(x,z)=\phi(x)\cdot\,\phi(z))

那么，K(x,z)便是核函数。

• 为什么要引入核函数

示例2.png

从上例可以看出，核函数一定，映射函数是不唯一的，而且当维度是无线大的时候，我们几乎无法求得映射函数，那么核函数的作用就在于此，核函数避免了映射函数的求解，叫做核技巧。

• 核函数的特征

核函数是半正定矩阵。

• 常用的核函数

1. 多项式核函数

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?K(x,z)=(x\cdot\,z+1)^p)

分类决策函数为

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?f(x)=sign(\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i(x_i\cdot\,x+1)^p+b)

2. 高斯核函数

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?K(x,z)=exp(-\frac{||x-z||^2}{2\sigma^2}))

分类决策函数为：

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?f(x)=sign(\sum_{i=1}^N\alpha_iy_iexp(-\frac{||x-z||^2}{2\sigma^2})+b))

3. 字符串核函数

...太复杂，没看懂，有时间再看。

4. 线性核

我们的线性问题也可以用线性核来解决。
Linear kernel

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?K(xi,xj)=xi\cdot\,xj)

因此，我们得到的对偶问题就可以切换，

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?\min_{w,b}\iota=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_i\cdot\,x_j)+\sum_{i-1}^N\alpha_i)

切换为

![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?\min_{w,b}\iota=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_jK(x_i,x_j)+\sum_{i-1}^N\alpha_i)

注：书中的SMO算法也是用线性核的凸二次规划对偶方程求解。

截至到此，SVM算法就算告一段落，关于SMO算法，接下来还需要手动撸代码，需要更深的理解，最近两周的努力没有白费，让我对支持向量机有了全新的认识，希望未来能有机会实践于具体项目。