[数列极限]
性质：唯一性 有界性 保号性
考法
直接计算法
基础知识：等差数列求和，等比数列求和
重要公式：
解题方法
- 作差法（解题经验）
- 用对数求解，利用lnAB = lnA+lnB等性质
- 用倒数求解，一般题目中会有提示
单调有界准则
题目中含有相邻两项的递推式，证明数列的极限存在并求之
先证明函数单调，再证明函数有界（单增函数有上界，单减函数有下界）
解题方法
若题目中出现了不等式，则为题目提示用不等关系求解
重要不等式：
- 作差
必要时可利用数学归纳法
对于数列的相邻两项的表达式，当n无穷大时，可在两边取极限得到极限值 - 作商
有阶层的式子考虑作商解题
定义法
构造|xn-a|
若题目中告知了某一数列的极限值，则采用定义法
解题方法
放缩法
可先算出极限值，再用定义法通过放缩证明这个值就是极限值。拉格朗日中值法
在题目中见到原函数的导数，想到拉格朗日中值法
夹逼准则
解题方法
- 求 n（n为无穷大）个式子的和
极限值介于n倍最小项与n倍最大项之间 - 求 n（n为有限数）个式子的和
极限值介于一倍最大值与n倍最大值之间
定积分定义
对于n个式子的求和极限，如果能写出每一项的通式，则用定积分的定义
要点：凑出i/n与1/n
解题方法
- 基本型：直接凑出i/n
n+i(an+bi)
n^2 + i^2
n^2 +ni
i/n - 凑不出i/n时，先放缩，放缩后，有两种解决方法
- 直接用夹逼准则
- 放缩后再凑i/n
- 变量型
题目中给出的求和式中出现了变量x，可能指定了变量的范围。这时把x当作常数处理。
[函数极限]
数形结合百般好
函数及其性质
研究对象
积分形式 - 原函数形式 - 导数形式 - 泰勒展开式
函数的四种特性
有界性
单调性
奇偶性
- 前提：定义域关于远点对称
- 基本类型
- f(x)+f(-x)为偶函数
- f(x)-f(-x)为奇函数
- 复合规则 f[g(x)]
- 奇[偶]=偶
- 偶[奇]=偶
- 奇[奇]=奇
- 偶[偶]=偶
- 非[偶]=偶
- 函数的奇偶性求导一次换一次
- 解题：利用奇偶性及奇偶函数的复合规则，求对称区间上的积分值
- 奇函数在对称区间上的积分值为0，偶函数在对称区间上的积分值是2 x 半区间
- 变体类型（平移）
- f(x)为偶函数（关于y轴对称）------>f(x)关于x=T对称
- 找关于x=T的对称区间解题
- f(x)为奇函数（关于原点对称）------>f(x)关于点(x0,0)对称
- 找关于x=x0的对称区间解题
- f(x)为偶函数（关于y轴对称）------>f(x)关于x=T对称
周期性
求导后周期性不变
考法 & 解题方法
恒等变形 & 等价无穷小替换
变形前先化简。恒等变形，通俗地说就是，++ -- ** // 换元 用公式
常用解题思路
- 见根号差，用有理化
- 重要公式： a^n - b^n=(a-b)(……)
- 裂项相消法
考研题中容易将此方法运用到求1的无穷次方的极限中
解题思路：用e将幂指函数转化成以e为底的指数函数 - 凑条件，构造等价无穷小替换
洛必达法则
洛必达法则经常作为辅助手段使用，当满足0/0或 无穷/无穷 时使用
公式积累：当x->1时，lnx ~ x-1
泰勒公式
展开原则（展开到几阶）
- A/B型（A*B转化成A/(1/B)）：上下同阶
若分母（分子）是x^k， 则分子（分母）展开至x^k - A-B型（A+B转换成A-(-B)）：幂次最低
将A,B分别展开至系数不相等的最低次幂为止
注：采用幂次最低的展开原则，可以抛弃大学高等数学中说的加减法不能用等价无穷小替换的说法。因为用泰勒展开时，是用主部精确求解。
其它解题经验
- 极限的脱帽法
夹逼准则
看准题目中出现的不等式，很多利用函数的周期性
数形结合百般好
