从拓扑角度简单证明Brouwer不动点定理

这就是大名鼎鼎的Brouwer不动点定理，第一次接触它是在大一数学分析课，第二次是在大二上学期的复分析，其证明都带有浓重的分析色彩. 即将结束的大二下学期里的拓扑课再一次出现了这个定理，利用同伦和基本群可以让事情变得更加简单.

\begin{align}Lem.&S^1不是D^2的收缩核.\\&pf.记j:S^1\rightarrow D^2为嵌入，若S^1是D^2的收缩核，则\\&\exists \gamma :D^2\rightarrow S^1 使得\gamma j=id_{S^1}\\&以上诱导了基本群之间的同态：\gamma _*j_*=id_{\pi _1(S^1)}，记\sigma _1=e^{2\pi it}为环绕S^1一周的道路\\&则由于D^2单连通，[\sigma _1]=id([\sigma _1])=\gamma _*j_*[\sigma _1]=\gamma _*(1)=1，与\sigma _1非平凡是矛盾的.\Box\end{align}

这本身是一个极有用的引理，矛盾的本质在于，作为收缩核应与大空间有相同的伦型.

\begin{align}pf \ of\ Thm&.若定理不成立，则\exists f:D^2\rightarrow D^2使得\forall x\in D^2,f(x)\neq x.\\&作f(x)出发的射线\overline{f(x)\rightarrow x}与边界圆周交于r(x)，显然r(x)连续.\\&然而\forall x\in S^1,r(x)=x,\forall x\in (D^2)^{\circ },r(x)\neq x,\\&这说明在r之下S^1成为D^2的收缩核，这不可能.\Box\end{align}

至此，用了一个很直观的引理解决了Brouwer不动点定理的证明.

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