1-2 平面及其方程

第二节平面及其方程

一、平面的点法式方程

法向量

如果一个非零向量垂直于一个平面，则该向量就称为该平面的法线向量(简称平面的法向量)。
一个平面的法向量有无穷多个，它们之间互相平行，且法向量与平面上的任何一个向量都垂直。

点法式方程

$M_0(x_0， y_0， z_0)$ 是平面 $Π$ 上的一个定点，且已知该平面的法向量 $\mathbf{n} = (A, B, C)$ ，对于平面上任一点 $M(x, y, z)$ ，由于向量 $\overrightarrow{M_0M} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ 必与平面 $Π$ 的法向量 $\mathbf{n}$ 垂直，于是有 $\overrightarrow{M_0M} · \mathbf{n} = 0$ ，即

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

法向量 $\mathbf{n} = (A， B， C)$

已知平面上的三个点求平面方程采用向量积方法

二、平面的一般方程

由平面的点法式方程知任一平面的方程都是三元一次方程，反之，可以证明任何一个三元一次方程
$Ax + By + Cz + D = 0$
称为平面的 一般方程

(1)当 D = 0 时， $Ax+By+Cz = 0$ ，原点 $O(0， 0， 0)$ 的坐标满足此方程，方程 $Ax+By+Cz=0$ 表示过原点的平面。

(2)当 A = 0 时， $By+Cz+D=0$ 所表示的平面的法向量为 $n=(0， B， C)$ ，法向量n在x轴上的投影为零，故与x轴垂直，所以该平面与x轴平行。同理
当 B = 0 时，平面 $Ax+Cz+D=0$ 平行于y轴
当 C = 0 时，平面 $Ax+By+D=0$ 平行于z轴

(3)当 A = B = 0 时，平面 $Cz+D=0$ 的法向量为 $n=(0， 0， C)$ ，法向量 $\mathbf{n}$ 在 x 轴和 y å轴上的投影都为零，故与x轴和y轴都垂直，即与xOy面垂直，平面平行于xOy面
B = C = 0 平面 $Ax + D = 0$ 表示与 yOz 面平行
A = C = 0 平面 $Bx + D = 0$ 表示与 zOx 面平行

三、平面的截距式方程

$\frac{x} {a} =\frac{y} {b} =\frac{z} {c}$ = 1 称为平面的截距式方程 a、b 和 c 叫作该平面的截距

四、平面与平面、点与平面的关系

1、两平面的夹角

两平面的法向量所夹的锐角(或直角)称为两平面的夹角(见图)

图

设平面的方程为，
平面的方程为。
即
则平面与平面的夹角的余弦为

两平面余弦夹角
$cosθ =\frac {\mathbf{|n_1 · n_2|}} {\mathbf{|n_1| |n_2|}} = \frac{|A_1A_ 2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{ \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_2^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

2、两个平面平行和垂直的充要条件

$当 Π_1 / / Π_2 时，有\mathbf{n_1} // \mathbf{n_2} ⇔\frac{A_1}{A_2} =\frac{B_1}{B_2} =\frac{C_1}{C_2}$
$若Π_1 与Π_2 重合，则 \frac{A_1}{A_2} =\frac{B_1}{B_2} =\frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$
当 $Π_1⊥Π_2$ 时，有
$\mathbf{n_1} ⊥\mathbf{n_2} ⇔A_1A_2 +B_1B_2 +C_1C_2 = 0$

第三节直线及其方程

一、空间直线一般方程

任一空间直线 L 都可以看作是两个相交平面的交线(见图)若平面 $Π_1$ 的方程为 $A_1x +B_1y +C_1z +D_1 = 0$ ，平面 $Π_2$ 的方程为 $A_2x +B_2y +C_2z +D_2 = 0$ ，则方程组

$\begin{cases} A_1x +B_1y +C_1z +D_1 = 0 \\ A_2x +B_2y +C_2z +D_2 = 0 \end{cases}$
表示空间直线 L 的方程，称为空间直线的一般方程。

图

二、对称式方程及参数方程

1、方向向量

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的 方向向量。
直线上的任何一个向量都平行于方向向量。显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行。

图

2、对称式方程（点向式方程）

给定直线上的一点 $M_0(x_0， y_0， z_0)$ 及一个方向向量 $s = (m， n， p)$ ，直线的位置就完全确定了。如果 $M(x， y， z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\overrightarrow{M_0M} / / \mathbf{s}$ ，即有

$\frac{x - x_0}{m} =\frac{y - y_0}{n} =\frac{z-z_0}{p}$

$m、 n、 p$ 就称为方向数

由此可知此式即为直线 $l$ 的方程，称为直线的对称式方程，也称点向式方程这里 $s=(m， n， p)$ 的三个坐标 $m、 n、 p$ 就称为方向数，而 $\mathbf{s}$ 的方向余弦就叫作该直线的方向余弦。

若设 $\frac{x - x_0}{m} =\frac{y - y_0}{n} =\frac{z-z_0}{p} = t$
则有直线的 参数式方程 $\begin{cases} x = x_0 + mt, \\ y = y_0 + nt，\\ z = z_0 +pt. \end{cases}$

注意若有个别分母为零，应理解为相应的分子也为零
例如， $m = 0 (n≠0， p≠0)$ ，即式为

$\frac{x - x_0}{0} =\frac{y - y_0}{n} =\frac{z-z_0}{p}$

三、直线与平面的关系

1、两直线的夹角

两直线的方向向量之间的夹角( 通常取锐角或直角) 称为两直线的夹角，即 $\widehat{(l_1， l_2)} = \widehat{(s_1， s_2)} 或\widehat{(l_1， l_2)} =\widehat{(-s_1， s_2)} = π - \widehat{(s_1， s_2)}$ 两者中的锐角或者直角。

设 $l_1：\frac{x - x_1}{m_1} =\frac{y - y_1}{n_1} =\frac{z-z_1}{p_1} 其中 \mathbf{s_1} = (m_1，n_1，p_1)，M_1(x_1，y_1，z_1)\in l_1$ ，
$l_2：\frac{x - x_2}{m_2} =\frac{y - y_2}{n_2} =\frac{z-z_2}{p_2} 其中 \mathbf{s_2} = (m_x，n_2，p_2)，M_2(x_2，y_2，z_2)\in l_2$ ，
则
$cos\widehat{(l_1， l_2)} = \frac{\mathbf{|s_1·s_2|}}{\mathbf{|s_1||s_2|}} = \frac{|m_1m_ 2 + n_1n_2 + p_1p_2|}{ \sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_2^2} \sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}}$

当 $l_1 / / l_2 时， \frac{m_1}{m_2} =\frac{n_1}{n_2} =\frac{p_1}{p_2}$
当 $l_1⊥l_2$ 时，有 $m_1m_2 +n_1n_2 +p_1p_2 = 0$

图

2、直线与平面的夹角

直线 $l$ 和它在平面 $π$ 上的投影直线 $l_1$ 所构成的角称为该直线与平面的夹角(见图)，记为 $φ (0 ≤ φ < \frac{π} {2} )$
当直线与平面垂直时，规定 $φ = \frac{π} {2}$

$设直线l:\frac{x - x_0}{0} =\frac{y - y_0}{n} =\frac{z-z_0}{p} ，\mathbf{s} = (m， n， p)，$
$平面Π:Ax+By+Cz+D=0， \mathbf{n} = (A，B，C),$
$则 φ = |\frac{π} {2} -\widehat{(\mathbf{s}，\mathbf{n})}|$

$sinφ = |cos\widehat{(\mathbf{s}，\mathbf{n})}| = \frac{|Am + Bn + Cp|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \sqrt{m^2 + n^2 + p^2}}$

$当 l / / Π 时， \mathbf{s ⊥ n } ，即有 Am + Bn + Cp = 0$

$当 l ⊥ Π 时， \mathbf{s / / n } ，即有 \frac{A}{m} =\frac{B}{n} =\frac{C}{p}$

四、平面束

通过定直线的平面的全体称为过该直线的 平面束，有时候用平面束解题非常方便，现在我们来介绍它的方程。
设直线 $l：\begin{cases} A_1x +B_1y +C_1z +D_1 = 0 \\ A_2x +B_2y +C_2z +D_2 = 0 \end{cases}$
其中系数 $A_1、 B_1、 C_1 与A_2、 B_2、 C_2$ 不成比例， $λ_1， λ， μ$ 为任意常数，则过该直线的平面束方程为

$λ_1(A_1x + B_1y + C_1z + D_1) + μ(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) = 0$

若式中 $λ1 ≠ 0$ 则可写成式

$A_1x+B_1y+C_1z+D_1 +λ(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0$

但式中并不包括平面 $A_2x+B_2y+C_2z+D_2 =0$

1-2 平面及其方程