整环

本节我们介绍整环：简单概括：整环是域的前身，它是没有平凡零因子的交换环。

整环:如果一个环是有单位元交换环，并且它没有非零的零因子，那么我们就把称为一个整环。
常见整数环的例子：
①整数环.
②域上的多项式环。
③代数整数环， 其中是无平方因子的整数。
④所有的域都是整环。

整除，因子，倍元：我们假设是一个整环，如果对，存在使得，我们就称可以整除, 或者可以被整除。我们把叫做的因子，叫做的倍元。

相伴：如果在整环中的元素和，它们可以互相整除，我们就称和相伴。记作.[用这个记号的原因是整环上的相伴是一种等价关系]

【欧几里得整环】，我们现在假设有一个整环
和一个映射就是上非零元到非负整数集合的映射，满足对于任意的存在满足且。这样我们就把称为一个欧几里得整环。
【重点】欧几里得整环的核心是带余除法，构造映射的目的是为了比较余数和被除数的大小关系，否则在中无法直接比较它们的大小关系。

【定理】欧几里得整环是主理想整环。PID
【推论】欧几里得整环是唯一分解整环。UFD
【问题】证明域是欧几里得整环。
【证明】只需要构造常值函数，令满足对于任意的。容易验证这是一个欧几里得整环。