题目62：不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

robot_maze.png

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例1：

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例2：

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

分析

由于机器人每次只能向下或者向右移动一步，当前节点只能从上面节点或者左边节点走过来，dp[i][j]表示走到当前节点共有多少条路径，则路径数dp[i][j]=dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，第一排和第一列的路径数肯定是1，具体可以看代码。

代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[m][n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

扩展63：不同路径II

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

分析

大体和上一题相同，只是障碍物的节点路径数为0，第一行或者第一列某一节点为障碍物，它后面的节点全部不可达。见代码：

代码

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int row = obstacleGrid.size();
        int col = obstacleGrid[0].size();
        long long dp[row][col];
        bool has_obstacle = false;
        for (int i = 0; i < col; ++i) {
            if (obstacleGrid[0][i] == 1) {
                has_obstacle = true;
            }
            dp[0][i] = has_obstacle ? 0 : 1;
        }
        has_obstacle = false;
        for (int i = 0; i < row; ++i) {
            if (obstacleGrid[i][0] == 1) {
                has_obstacle = true;
            }
            dp[i][0] = has_obstacle ? 0 : 1;
        }
        for (int i = 1; i < row; ++i) {
            for (int j = 1; j < col; ++j) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
                    dp[i][j] = 0;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[row-1][col-1];
    }
};

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