第12讲：转动定律by张龙

转动定律

知识点

类比法理解牛顿第二定律和转动定律
单个刚体的转动
转动、平动组合体：
- 先根据隔离法对各个物件进行简单的受力分析；
- 对平动的物件(记为 $i$ )按照牛顿第二定律 $F_{i}=m_{i}a_{i}$ 列方程；
- 对转动的物件(记为 $j$ )按照转动定律 $M_{j}=I_{j}\alpha_{j}$ 列方程；
- 根据约束条件列方程。

表达题

转动定律请与平动进行“类比”理解。平动有 $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ ， $a=\frac{F}{m}$ ，那么转动定律的公式是

解答： $\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}$ $\alpha=\frac{\vec{M}}{J}$

均匀细棒左端固定。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，当下落至图示位置时，角加速度是多少？

解答:如图所示

图片发自简书App

设细棒长为 $L$ ,质量为 $m$ ,转动的角度为 $\theta$
细棒的线密度 $\lambda=\frac{m}{L}$ , $dm=\lambda dr=\frac{m}{L}dr$
$J=\int_0^L r^2dm=\int_0^L\frac{m}{L}r^2dr=\frac{1}{3}mL^2$
$M=Fr\sin\theta$ , $F=\frac{1}{2}mg$ , $r=\frac{1}{2}L$
$\alpha=\frac{M}{J}=\frac{3g\sin\theta}{4L}$

重滑轮，半径为R，质量为M，转动惯量为 $\frac{1}{2}MR^{2}$ 。今两端的拉力分别为 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ ，且约定角动量的方向垂直于纸面向外为正，则该滑轮的角加速度是多少？

解答： $F_合=T_2-T_1$ , $M=Fr\sin\theta=FR$ , $J=\frac{1}{2}MR^{2}$
$\alpha=\frac{M}{J}=\frac{2(T_2-T_1)}{MR}$

一质量为 $m$ 的小球以 $v_{0}$ 的速率沿 $x$ 轴前进，在恒定的摩擦力的作用下， $\Delta t$ 时间内正好停止运动，则该摩擦力的大小为()。一飞轮以 $\omega_{0}$ 的转速旋转，转动惯量为 $I$ ，现加一恒定的制动力矩使飞轮在 $\Delta t$ 时间内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为

解答：由 $Ft=I=m\Delta v$ 得：
$f=\frac{mv_0}{\Delta t}$
由 $L=Mt=J\Delta\omega$ 得：
$M=\frac{I\omega_0}{\Delta t}$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101005.png

则对 $M$ 列方程，有如下可能的方程

(1) $FR-TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha$

(2) $FR+TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha$

对 $m$ 列方程，有如下列法

(3) $T-mg=m\cdot a$

(4) $mg-T=m\cdot a$

对约束方程，有如下列法

(5) $a=R\alpha$

(6) $a=R\alpha^{2}$

以上正确的是

解答：(1)(3)(5)

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101006.png

则对 $M$ 列方程：

$T_1R-T_2R=J\alpha$

对 $m_{1}$ 列方程：

$m_1g-T_1=m_1a$

对 $m_{2}$ 列方程：

$T_2-m_2g=m_2a$

约束方程：

$a=R\alpha$
图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101007.png

则对 $M_{1}$ 列方程，有如下可能的方程

$T_1R_1-T_2R_1=J_1\alpha_1$

对 $M_{2}$ 列方程，有如下可能的方程

$T_2R_2-T_3R_2=J_2\alpha_2$

对 $m_{3}$ 列方程，有如下列法

$m_3g-T_1=m_3a_3$

对 $m_{4}$ 列方程，有如下列法

$T_3-m_4g=m_4a_4$

对约束方程，有如下列法

$a_3=R_1 \alpha_1$ , $a_4=R_2\alpha_2$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101008.png

则对 $M$ 列方程，有如下可能的方程

$T_2R-T_1R=J\alpha$

对 $m_{1}$ 列方程，有如下列法

$T_1-\mu m_1g=m_1a$

对 $m_{2}$ 列方程，有如下列法

$m_2g-T_2=m_2a$

对约束方程，有如下列法

$a=R\alpha$