你是否想过，计算机为什么会加减乘除？或者更直接一点，计算机的原理到底是什么？

一、什么是二进制？

计算机内部采用二进制，每一个数位只有两种可能"0"和"1"，运算规则是"逢二进一"。举例来说，有两个位A和B，它们相加的结果只可能有四种：

真值表

这张表就叫做"真值表"（truth table），其中的sum表示"和位"，carry表示"进位"。如果A和B都是0，和就是0，因此"和位"和"进位"都是0；如果A和B有一个为1，另一个为0，和就是1，不需要进位；如果A和B都是1，和就是10，因此"和位"为0，"进位"为1。

二、逻辑门（Logic Gate）

布尔运算（Boolean operation）的规则，可以套用在二进制加法上。布尔运算有三个基本运算符：AND，OR，NOT，又称"与门"、"或门"、"非门"，合称"逻辑门"。它们的运算规则是：

AND：如果( A=1 AND B=1 )，则输出结果为1
OR：如果( A=1 OR B=1 )，则输出结果为1
NOT：如果( A=1 )，则输出结果为0

两个输入（A和B）都为1，AND（与门）就输出1；只要有任意一个输入（A或B）为1，OR（或门）就输出1；NOT（非门）的作用，则是输出一个输入值的相反值。它们的图形表示如下：

逻辑门

三、真值表的逻辑门表示

现在把"真值表"的运算规则，改写为逻辑门的形式。

先看sum（和位），我们需要的是这样一种逻辑：当两个输入不相同时，输出为1，因此运算符应该是OR；当两个输入相同时，输出为0，这可以用两组AND和NOT的组合实现。最后的逻辑组合图如下：

AND和NOT

再看carry（进位）。它比较简单，两个输入A和B都为1就输出1，否则就输出0，因此用一个AND运算符就行了。

进位制

现在把sum和carry组合起来，就能得到整张真值表了。这被称为"半加器"（half-adder），因为它只考虑了单独两个位的相加，没有考虑可能还存在低位进上来的位。

半加法器

四、扩展的真值表和全加器

如果把低位进上来的位，当做第三个输入（input），也就是说，除了两个输入值A和B以外，还存在一个输入（input)的carry，那么问题就变成了如何在三个输入的情况下，得到输出（output）的sum（和位）和carry（进位）。

这时，真值表被扩展成下面的形式：

拓展真值表

如果你理解了半加器的设计思路，就不难把它扩展到新的真值表,这就是"全加器"(full-adder).

全加器

五、全加器的串联

多个全加器串联起来，就能进行二进制的多位运算了。

先把全加器简写成方块形式，注明三个输入（A、B、Cin）和两个输出（S和Cout）

全加器

然后，将四个全加器串联起来，就得到了四位加法器的逻辑图。

四位加法器

六、逻辑门的晶体管实现

下一步，就是用晶体管做出逻辑门的电路。

先看NOT。晶体管的基极（Base）作为输入，集电极（collector）作为输出，发射极（emitter）接地。当输入为1（高电平），电流流向发射极，因此输出为0；当输入为0（低电平），电流从集电极流出，因此输出为1。

NOT

接着是AND。这需要两个晶体管，只有当两个基极的输入都为1（高电平），电流才会流向输出端，得到1。

AND

最后是OR。这也需要两个晶体管，只要两个基极中有一个为1（高电平），电流就会流向输出端，得到1。

OR

七、全加器的电路

将三种逻辑门的晶体管实现，代入全加器的设计图，就可以画出电路图了。

电路图

按照电路图，用晶体管和电路板组装出全加器的集成电路。

电路板

左边的三根黄线，分别代表三个输入A、B、Cin；右边的两根绿线，分别代表输出S和Cout。

八、制作计算机

将四块全加器的电路串联起来，就是一台货真价实的四位晶体管计算机了，可以计算0000~1111之间的加法。

四位计算机

电路板的下方有两组各四个开关，标注着"A"和"B"，代表两个输入数。从上图可以看到，A组开关是"上下上上"，代表1011（11）；B组开关是"上下下下"，代表1000（8）。它们的相加结果用五个LED灯表示，上图中是"亮暗暗亮亮"，代表10011（19），正是1011与1000的和。

九、结论

虽然这个四位计算机非常简陋，但是从中不难体会到现代计算机的原理。

完成上面的四位加法，需要用到88个晶体管。虽然当代处理器包含的晶体管数以亿计，但是本质上都是上面这样简单电路的累加。