压缩感知重构算法——OMP

姓名：方文 19021210911    

转载自：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45130793

【嵌牛导读】压缩感知以信号的稀疏特性为基础，相较于奈奎斯特采样定理，可以以较少的采样值来恢复出原始信号，因此压缩感知理论被广发应用信号处理等领域中。

【嵌牛鼻子】压缩感知 OMP

【嵌牛提问】压缩感知算法的思想？

【嵌牛正文】

本篇给出正交匹配追踪(OMP)算法的MATLAB函数代码，并且给出单次测试例程代码、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码。

0、符号说明如下：

        压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M<<N）。x一般不是稀疏的，但在某个变换域Ψ是稀疏的，即x=Ψθ，其中θ为K稀疏的，即θ只有K个非零项。此时y=ΦΨθ，令A=ΦΨ，则y=Aθ。

        (1) y为观测所得向量，大小为M×1

        (2)x为原信号，大小为N×1

        (3)θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示

        (4)Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N

        (5)Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N

        (6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N

上式中，一般有K<<M<<N，后面三个矩阵各个文献的叫法不一，以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵。

1、OMP重构算法流程：

2、正交匹配追踪(OMP)MATLAB代码(CS_OMP.m)

function [ theta ] = CS_OMP( y,A,t )

%CS_OMP Summary of this function goes here

%Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-04-18

%  Detailed explanation goes here

%  y = Phi * x

%  x = Psi * theta

% y = Phi*Psi * theta

%  令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta

%  现在已知y和A，求theta

    [y_rows,y_columns] = size(y);

    if y_rows<y_columns

        y = y';%y should be a column vector

    end

    [M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵

    theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)

    At = zeros(M,t);%用来迭代过程中存储A被选择的列

    Pos_theta = zeros(1,t);%用来迭代过程中存储A被选择的列序号

    r_n = y;%初始化残差(residual)为y

    for ii=1:t%迭代t次，t为输入参数

        product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积

        [val,pos] = max(abs(product));%找到最大内积绝对值，即与残差最相关的列

        At(:,ii) = A(:,pos);%存储这一列

        Pos_theta(ii) = pos;%存储这一列的序号

        A(:,pos) = zeros(M,1);%清零A的这一列，其实此行可以不要，因为它与残差正交

        %y=At(:,1:ii)*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)

        theta_ls = (At(:,1:ii)'*At(:,1:ii))^(-1)*At(:,1:ii)'*y;%最小二乘解

        %At(:,1:ii)*theta_ls是y在At(:,1:ii)列空间上的正交投影

        r_n = y - At(:,1:ii)*theta_ls;%更新残差       

    end

    theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta

end

3、OMP单次重构测试代码(CS_Reconstuction_Test.m)

        代码中，直接构造一个K稀疏的信号，所以稀疏矩阵为单位阵。

%压缩感知重构算法测试

clear all;close all;clc;

M = 64;%观测值个数

N = 256;%信号x的长度

K = 10;%信号x的稀疏度

Index_K = randperm(N);

x = zeros(N,1);

x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的

Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta

Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵

A = Phi * Psi;%传感矩阵

y = Phi * x;%得到观测向量y

%% 恢复重构信号x

tic

theta = CS_OMP(y,A,K);

x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta

toc

%% 绘图

figure;

plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号

hold on;

plot(x,'r');%绘出原信号x

hold off;

legend('Recovery','Original')

fprintf('\n恢复残差：');

norm(x_r-x)%恢复残差


4、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码

%压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_MtoPercentage.m

%  绘制参考文献中的Fig.1

%  参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert

%  Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching

%  Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,

%  DECEMBER 2007.

%  Elapsed time is 1171.606254 seconds.(@20150418night)

clear all;close all;clc;

%% 参数配置初始化

CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数

N = 256;%信号x的长度

Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta

K_set = [4,12,20,28,36];%信号x的稀疏度集合

Percentage = zeros(length(K_set),N);%存储恢复成功概率

%% 主循环，遍历每组(K,M,N)

tic

for kk = 1:length(K_set)

    K = K_set(kk);%本次稀疏度

    M_set = K:5:N;%M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了

    PercentageK = zeros(1,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率

    for mm = 1:length(M_set)

      M = M_set(mm);%本次观测值个数

      P = 0;

      for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次

            Index_K = randperm(N);

            x = zeros(N,1);

            x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的               

            Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵

            A = Phi * Psi;%传感矩阵

            y = Phi * x;%得到观测向量y

            theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta

            x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta

            if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功

                P = P + 1;

            end

      end

      PercentageK(mm) = P/CNT*100;%计算恢复概率

    end

    Percentage(kk,1:length(M_set)) = PercentageK;

end

toc

save MtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来

%% 绘图

S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];

figure;

for kk = 1:length(K_set)

    K = K_set(kk);

    M_set = K:5:N;

    L_Mset = length(M_set);

    plot(M_set,Percentage(kk,1:L_Mset),S(kk,:));%绘出x的恢复信号

    hold on;

end

hold off;

xlim([0 256]);

legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');

xlabel('Number of measurements(M)');

ylabel('Percentage recovered');

title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');


5、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码

%压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_KtoPercentage.m

%  绘制参考文献中的Fig.2

%  参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert

%  Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching

%  Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,

%  DECEMBER 2007.

%  Elapsed time is 1448.966882 seconds.(@20150418night)

clear all;close all;clc;

%% 参数配置初始化

CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数

N = 256;%信号x的长度

Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta

M_set = [52,100,148,196,244];%测量值集合

Percentage = zeros(length(M_set),N);%存储恢复成功概率

%% 主循环，遍历每组(K,M,N)

tic

for mm = 1:length(M_set)

    M = M_set(mm);%本次测量值个数

    K_set = 1:5:ceil(M/2);%信号x的稀疏度K没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了

    PercentageM = zeros(1,length(K_set));%存储此测量值M下不同K的恢复成功概率

    for kk = 1:length(K_set)

      K = K_set(kk);%本次信号x的稀疏度K

      P = 0;

      for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次

            Index_K = randperm(N);

            x = zeros(N,1);

            x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的               

            Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵

            A = Phi * Psi;%传感矩阵

            y = Phi * x;%得到观测向量y

            theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta

            x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta

            if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功

                P = P + 1;

            end

      end

      PercentageM(kk) = P/CNT*100;%计算恢复概率

    end

    Percentage(mm,1:length(K_set)) = PercentageM;

end

toc

save KtoPercentage1000test %运行一次不容易，把变量全部存储下来

%% 绘图

S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];

figure;

for mm = 1:length(M_set)

    M = M_set(mm);

    K_set = 1:5:ceil(M/2);

    L_Kset = length(K_set);

    plot(K_set,Percentage(mm,1:L_Kset),S(mm,:));%绘出x的恢复信号

    hold on;

end

hold off;

xlim([0 125]);

legend('M=52','M=100','M=148','M=196','M=244');

xlabel('Sparsity level(K)');

ylabel('Percentage recovered');

title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');

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