有了上次对一次函数的探究作为基础，我们接下来来探究二次函数，依然按照从特殊到一般的探究思路进行探究。
一般的二次函数，解析式为y=ax^2＋bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）。今天我们先探究最简单的y=x^2，y=ax^2和y＝ax^2＋b。
首先是y=x^2，先从解析式我们来猜想一下它的函数图像可能呈现怎样的性质？首先，x^2具有非负性，所以y＞0，函数图像全部在x轴上方，x^2解出来的两个x互为相反数。那我们来想象一下，两个互为相反数的x，它们拥有着相等的y，那对应的函数图像上，就是一条关于y轴对称的一个图形；同样因为x^2具有非负性，所以x^2的最小值就为零，此时x、y均为零，所以该函数图像，最低点的坐标就是（0，0）。
通过画图，我们验证了以上的猜想：
1.函数图像关于y轴对称。
2.函数图像最低点的坐标是（0，0）（y有最小值）
通过观察，我们感觉到二次函数的图像好像是成一条抛物线，但又不太能确定，各点之间是不是用直线连接的，那我们就要把单位长度无限的缩小，描更多的点来验证。
借助高科技的帮忙，我快速的画出了这样的一个图像，验证了它就是一条抛物线，各点之间不是由直线连接的，并且抛物线的两端无限延伸。
接下来，我们探究y=ax^2的函数图像。我们上次探究一次函数得到的结论是：a影响函数图像的倾斜程度，a的绝对值越大，对应的y随x增大或减小的越快。根据这个，我们猜想，在二次函数当中，a是不是同样影响着函数图像的斜率呢？但因为二次函数的图像是一条抛物线，所以我们这次的猜想就变为：函数图像的开口大小，是根据a的绝对值的大小决定的，a的绝对值越大，函数图像的开口越小，y随x增大的越快。
通过画图，我们也验证了以上的猜想：
1.a的绝对值越大，函数图像的开口越小。
除了a的大小会影响函数图像，a的正负性也同样影响着函数图像。一次函数当a＞0时，函数图像过一三象限，a＜0时函数图像经过二四象限。二次函数好像跟一次函数不一样，二次函数的a好像并不决定能它函数图像经过哪几象限，那a的正负性是怎么影响函数图像性质的呢？
先从解析式下手，y=ax^2（a≠0）中，x^2是具有非负性的，所以y的正负性是根据a的正负性决定的，当a＞0时，y＞0，函数图像所有时刻的y都大于零，所以函数图像一定都在x轴上方，并且开口向上；同样的，当a＜0时，函数图像所有时刻的y都小于零，所以函数图像一定都在x轴下方，并且开口向下。
通过列表、描点、连线画出的一次项系数互为相反数的两个函数图像，不仅验证了我们的猜想，而且我们还有一个新的发现：y=x^2和y=-x^2是关于x轴对称的！其实从解析式上我们也不难验证：因为他们的系数互为相反数，所以它们a的绝对值都相等，开口大小就都一样；又因为a的正负性决定了y的正负性，所以当a＞0时，y都大于零，函数图像都在x轴上方，呈一条无端点的抛物线，同理可得当a＜0时，y都小于零，函数图像都在x轴下方，呈一条无端点的抛物线。这就有了两条关于x轴对称的抛物线。
一次函数中的b是决定函数图像向上或向下平移的指标，所以我们也猜想，在二次函数当中，b也影响着函数图像向上或向下平移。从数的角度，b并不影响ax^2的大小，当a被确定下来时，使得所有的ax^2都加上b，也就是所有的y都加上了同样的一个b，所以据此我们可以想象出函数图像是整个向上或向下平移了b个单位长度的。
通过画图也验证了我们的猜想。
接下来，以y=x^2－1为例，我们探究一下，二次函数的解析式。首先，x^2具有非负性，所以x^2的最小值只能是0，再－1，就得到了y的最小值为－1，反映到函数图像上就是，当x=0时，y为－1，也就是（0，－1）那个点；方程为x^2-1=0，解得x＝±1，也就是函数图像与x轴交点的横坐标；不等式为，x^2-1＞0或x^2-1＜0，x^2-1＞0对应的也就是y＞0，那就是x轴以上的两条无端点曲线，是分开的两段，对应的解就是x＞1或x＜－1；x^2-1＜0对应的y＜0，是x轴以下的部分，是完整的一小段，对应的解集就是－1＜x＜1。
有了刚才对二次函数数形结合的探究，我们在通过数形结合求y=x^2＋1的性质就很简单了，主要要从以下几个方面描述二次函数的性质：因为x^2具有非负性，加上1就是y的最小值，所以函数图像的开口是向上的（开口方向及大小）；关于y轴对称（对称性）；当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大（单调性）；方程：x^2+1=0→无实数解（函数图像与x轴没有交点）。不等式：x^2+1＞0→任意实数（函数图像都在x轴上方，且为一条无端点的抛物线），x^2+1＜0→无实数解（函数图像没有x轴以下的部分）（解析式）。
听完我以上的探究，你对函数的探究思路是否已经很清晰了呢？以后我们还会探究最一般的二次函数，y=ax^2＋bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0），敬请期待。
