二次函数

到初中之后我们学习了各种函数,比如我们学习的正比例函数,再到初二学习的一次函数,还有初三学习的反比例函数等等。

我们会发现,第一我们学习的过程是一个从特殊到一般的过程,就比如在我们学习正比例函数的时候,函数图像是过原点的一条直线,并且函数解析式是y=kx,但是在我们学习一次函数的时候,函数图像就变成了不过原点的一条直线,而函数解析式也就变成了y=kx+b,这个例子也就证实了我们学习的方法和过程是从特殊到一般的一个逐渐普遍的过程。第二,我们会发现所谓函数其实并不是一个独立单独的存在,函数以及函数解析式是可以和我们所学习的一元一次方程,一元二次方程和我们在初二所学习的一元一次不等式结合在一起的,所以当我们在分析一个正常的函数解析式是我们可以同时分析这个解析式的方程和不等式到底是什么,以及它的图像中是怎么表达的。

而上了初二之后,我们学习了一元二次方程那么,一元二次方程能不能和函数结合呢?

在我们经过了初三的学习,我们会发现是可以的。而与一元二次方程结合的方程叫做二次函数。

而在学习二次函数之前,我们需要先复习一下,与他名字很像的一次函数有什么性质?就比如, Y=X+2有什么性质呢?我们可以从图像的角度去分析,我们会发现,这一个图像过,123象限图像斜向上,K>0, B>0,Y随X的增大而增大。而这个函数对应的方程就是X-2=0,用数的角度去求解,其实很容易就让我们解一元一次方程的方式,可以解得X=-2,形的角度解释就是函数图像与X轴交点的横坐标。同时这个函数图像对应的不等式是 X+2小于0和 X+2>0,从数的角度去求解,我们可以发现, 这个不等式的解是 X>-2,X小于-2。而从形的角度就是函数图像上X轴上方的无端点射线的横坐标,和函数图像上x轴下方的无端点射线横坐标。

那二次函数是什么呢?其实通过浪漫的感知,我们会发现二次函数就是Y=  X的平方+2。但是,从上文中我们都知道,当我们学习一个函数的时候,要从特殊到一般开始学习,那对于二次函数最一般的函数是怎样的呢?

其实和一次函数也是十分相似的,在一次函数的学习中,我们先学的是Y=kX,那在二次函数的学习中。我们要先学习的,同样是Y=a(x的平方)。通过探究我们会发现。由这样的式子构成的二次函数图像是一条抛物线,同时这样的抛物线有最高点和最低点,并且最高点和最低点过原点,由于它是抛物线,所以它的开口有向上和向下两种区别。在我们探究了这个之后,我们就可以向一般逐渐开始发展。

就比如Y=X的平方+2和Y=-X的平方-2。

我们先从数的角度分析, X的平方具有非负性, X的平方加2一定是一个正数,而这也就证明了Y一定是一个正数,也就是说不管X是负数还是正数,y都只会是正数。因此X平方的最小值等于0,这时X也等于0,当我们把这个数代入函数解析式后,就可以得出Y的最小值是2。


接下来我们再从图像的角度去分析和证实我们刚才的观点和这个函数图像的性质。通过列表描点连线,我们就可以画出Y=X的平方+2的这个图像,此时,我们可以看到这个函数图像的最低点为2,并且函数图像开口向上,同时,整个图像关于 Y轴对称。

所以这也就恰恰证明了我们刚才的观点,刚才我们从式子可以分析出Y的最小值为2,而在图像中,当X为0时,Y的最小值确实为2。并且由于X有两种可能,所以图像关于Y轴对称。

那么这个二次函数对应的方程和不等式分别是什么呢?

首先这个函数图像的方程是X的平方+2等于0,从数的角度我们会发现我们无法解出这个方程的解, X的平方=-2, 但由于根号具有非负性,所以 X无实数解。而从形的角度我们会发现, X平方+2=0的时候就是Y=0,而在图像上Y最小值为2,所以从形的角度我们会发现这个方程确实无解。

其次,这个函数图像对应的不等式是x的平方+2>0和X的平方+2小于0,我们并没有学过如何解一元二次不等式,但是我们从行的角度可以分析出来,在这个图像上Y的最小值为2,也就是x的平方加2的最小值为2,所以,不等式X的平方+2>0是符合这个图像的,这个图像中所有的点都是不等式,X的平方+2>0的解集。 R不等式X的平方小于0是不符合这个图像的。

同理,我们还可以探究Y=负X的平方-2,我们先从数的角度分析,然后再通过列表描点连线画出这个函数的图像。

同时我们可以证实我们刚刚所分析的此函数图像的性质。只是与方才的函数图像不同的是,y没有最小值只有最大值, Y的最大值为-2,也就是函数图像的最高点为-2,而这个函数图像的开口向下,并且图像关于Y轴对称。同时关于这个函数解析式的方程与不等式,我们也可以通过刚才的方式判断,但是也与刚才的函数解析式相反。

这就是较为特殊的函数解析式,Y=X的平方+B的探究历程。

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 205,386评论 6 479
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 87,939评论 2 381
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 151,851评论 0 341
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 54,953评论 1 278
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 63,971评论 5 369
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 48,784评论 1 283
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 38,126评论 3 399
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 36,765评论 0 258
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 43,148评论 1 300
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 35,744评论 2 323
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 37,858评论 1 333
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 33,479评论 4 322
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 39,080评论 3 307
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 30,053评论 0 19
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 31,278评论 1 260
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 45,245评论 2 352
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 42,590评论 2 343

推荐阅读更多精彩内容

  • 有了上次对一次函数的探究作为基础,我们接下来来探究二次函数,依然按照从特殊到一般的探究思路进行探究。 ...
    R萱阅读 1,060评论 0 3
  • 早在初一,我们就已经学习了一次函数,也知道了它图像上每一部分所代表的含义,那么知道这些后,二次函数呢?它是不是...
    酥饼子阅读 1,953评论 0 0
  • 我们当初学习一次函数时,觉得函数很难理解。所以利用图像来帮助理解,把抽象的概念形象化。 二次函数定义: 内容偏多,...
    孔庆羽阅读 870评论 0 2
  • 1、解析式 三种表达式 一般式: ()顶点式: ()交点式: () 2、图像 图像为抛物线,主要由三个重要的因素影...
    椰子数学阅读 1,467评论 0 0
  • 本题是多种知识点的应用题,涉及到分式方程、一次函数、二次函数,而求最值是本题的重点。 第(1),列分式方程求解,同...
    吴理数阅读 569评论 0 0