拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子

拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数在一组约束下的极值方法。

larange_01.jpg

上图中
与椭圆体相交平面上直线 $g(x,y)$ 如果高度上没有限制那么 $g(x,y)$ 就形成一个面，这个面与椭圆体相交可以表示为 $z=f(x,y)$ ,我们就可以在这个曲线找到最小值。然后我们可以将这等高线投影到二维平面上来简化问题

larange_multiplier_3.jpeg

在上图中，我们可以推断出其实最小(或最大值)就位于限制条件g(x,y)和方程f(x,y)等号线相切的位置。而且有共同切线的斜率，那么他们法线方向是成比例的。这个比例系数就是拉格朗日乘子
$f = \lambda g$

我们现在来简单推导一下，这里将 y 表示为对于 x 的函数，那么就有 y(x),然后分别带入下面两个方程就得到。
$g(x,y(x)) = 0$
$f(x,y(x))$

下面我么这个两个方程都对x 进行偏微分，通过链式法则我们就得到下面式子

$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x + f_y \frac{\partial y}{\partial x}$

$\frac{\partial g}{\partial x} = g_x + g_y \frac{\partial y}{\partial x}$

因为我们知道他们斜率是成比例的，所有就可以得到这样结论，这就是拉格朗日乘子法，其中 $\lambda$ 就是乘子

$\exists \lambda \begin{cases} f_x = \lambda g_x \\ f_y = \lambda g_y \\ g(x,y) = 0 \end{cases}$

我们就可以利用这个三个条件来求在有限制条件下方程极值问题

例题

假设 $f(x,y) = 3x + 4y$ ,在 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 的条件限制下有极值。
利用上面知识来求极值
$\begin{cases} f_x = \lambda g_x & 3 = \lambda 2x \\ f_y = \lambda g_y & 4 = \lambda 2y \\ g(x,y) = 0 & x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

$x = \frac{3}{2 \lambda} , y = \frac{4}{2 \lambda}$
然后他们带入到 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 得到

$\frac{9}{4 \lambda^2} + \frac{16}{4 \lambda^2} = 1$
$\lambda = \pm \frac{2}{5}$

$\begin{cases} \lambda = \frac{2}{5} & x = \frac{5}{3} y =\frac{5}{4} \Rightarrow f(\frac{5}{3},\frac{5}{4}) = 5 \\ \lambda = \frac{2}{5} & x = -\frac{5}{3} y =- \frac{5}{4} \Rightarrow f(-\frac{5}{3},-\frac{5}{4}) = -5 \end{cases}$

那么结果就是最小值和最大值分别是 5 和 -5

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