乔治·桑塔亚纳说过，“那些遗忘过去的人注定要重蹈覆辙。”这句话放在问题求解过程中也同样适用。不懂动态规划的人会在解决过的问题上再次浪费时间，懂的人则会事半功倍。要了解这句话，得从动态规划的含义说起。

什么是动态规划？

quora上有这样一个问题:

How should I explain dynamic programming to a 4-year old?底下有个42K赞同的答案，是这样说的:

*writes down "1+1+1+1+1+1+1+1 =" on a sheet of paper*"What's that equal to?"

*counting* "Eight!"

*writes down another "1+" on the left*

"What about that?"

*quickly* "Nine!"

"How'd you know it was nine so fast?""You just added one more"

"So you didn't need to recount because you remembered there were eight!DynamicProgramming is just a fancy way to say 'remembering stuff to save time later"

就不翻译了，相信大家都能看懂。

现在，我们来看一下动态规划的官方定义：

动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。

动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

按照定义，动态规划的原理是将一个问题分解成子问题，逐渐求解局部最优解并扩展，最终得出全局最优解。但是我觉得的这个不是动态规划的核心思想，或者说，一个”大问题“之所以能用”动态规划解决，并不是因为它能拆解成一堆小问题，而是这些”小问题“会不会被被重复调用。 这个概念很重要，实际上很多问题都可以拆解成小问题来解决，例如我们之前讲的贪心算法，但这个区别决定了该选取哪种算法 。

动态规划能解决什么问题？

如果一个问题满足以下两点，那么它就能用动态规划解决。

1.问题的答案依赖于问题的规模，也就是问题的所有答案构成了一个数列。举个简单的例子，1人有2条腿，2个人有4条腿，n个人有多少条腿?答案是2n条腿。这里的2n是问题的答案，n则是问题的规模，显然问题的答案是依赖于问题的规模的答案是因变量，问题规模是自变量。因此，问题在所有规模下的答案可以构成一个数列(f(1)，f(2)...f(n))，比如刚刚“数腿”的例子就构成了间隔为2的等差数列(0,2.4....2n) 。

2.大规模问题的答案可以由小规模问题的答案递推得到。还是刚刚“数腿” 的例子，显然f(n)可以甚于f(n-1) 求得: f(n)= f(n-1)+2

动态规划的应用？

应用场景：动态规划比较合适的就是来求最优问题的，比如求最大值，最小值等等。它可以显著的降低复杂度，节约计算时间。所有的导航系统都采用了动态规划。

我们就是以导航为例来看看动态规划吧。

比如，我们想找到从北京到广州的最短行车路线或者最快行车路线。当然，最直接的笨办法是把所有可能的路线看一遍，然后找到最优的。这种办法只有在节点数是个位数的图中还行得通，当图的节点数（城市数目）有几十个的时候，计算的复杂度就已经让人甚至计算机难以接受了，因为所有可能路径的个数随着节点数的增长而成呈指数增长（或者说几何级数），也就是说每增加一个城市，复杂度要大一倍。显然我们的导航系统中不会用这种笨办法。

以上面的问题为例，当我们要找从北京到广州的最短路线时，我们先不妨倒过来想这个问题：假如我们找到了所要的最短路线（称为路线一），如果它经过郑州，那么从北京到郑州的这条子路线（比如是北京-> 保定->石家庄->郑州，称为子路线一），必然也是所有从北京到郑州的路线中最短的。

在实际实现算法时，我们又正过来解决这个问题，也就是说，要想找到从北京到广州的最短路线，先要找到从北京到郑州的最短路线。当然，聪明的读者可能已经发现其中的一个"漏洞"，就是我们在还没有找到全程最短路线前，不能肯定它一定经过郑州。不过没有关系，只要我们在图上横切一刀，这一 刀要保证将任何从北京到广州的路一截二，如下图。

那么从广州到北京的最短路径必须经过这一条线上的某个城市（图中蓝色的菱形） 。我们可以先找到从北京出发到这条线上所有城市的最短路径，最后得到的全程最短路线一定包括这些局部最短路线中的一条，这样，我们就可以将一个"寻找全程最短路线"的问题，分解成一个个小的寻找局部最短路线的问题。只要我们将这条横切线从北京向广州推移，直到广州为止，我们的全程最短路线就找到了。这便是动态规划的原理。采用动态规划可以大大降低最短路径的计算复杂度。

动态规划的过程？

当要应用动态规划来解决问题时，归根结底就是将动态规划拆分成以下三个关键目标。

1.建立状态转移方程

这一步是最难的，大部分人都被卡在这里。这步没太多的规律可说，只需抓住个思维: 当做已经知道f(1)~ f(n- 1)的值，然后想办法利用它们求得f(n)。

2.缓存并复用以往结果

这一步不难，但是很重要。如果没有合适地处理，很有可能就是指数和线性时间复杂度的区别。在我们上面的例子中，每加入一条横截线，线上平均有十个城市，从广州到北京最多经过十五个城市，那么采用动态规划的计算量是 10×10×15，而采用穷举路径的笨办法是 10 的 15 次方，前后差了万亿倍。

3.按顺序从小往大算

这里的“小和“大”对应的是问题的规模，在这里也就是我们要从f(0), f(1).到f(n)依次顺序计算。这点从导航的例子来看，似乎显而易见，因为状态方程基本限制了你只能从小到大一步步递推出最终的结果。

经典动态规划

我们来尝试用动态规划实现经典斐波那契数列

斐波那契数列: 0,1. 1,2,3,5,8, 13, 21,34.55, 89, 1443....

它遵循这样的规律:当前值为前两个值的和。

那么第n个值为多少?

我们用两种方法来做比较:

方法一：简单递归

如上所示，代码简单易懂，然而这代码却极其低效。

下图通过展示求解f(6)的过程说明了其原因。如图，随着递归的深入，计算任务不断地翻倍！

方法二：动态规划

先上代码。看不懂也没关系，看看如果完成这三个目标的就行了。

目标1，建立状态转移方程(完成)。也就是前面的f(n)= f(n-1)+ f(n- 2)。

目标2，缓存并复用以往结果(完成)。在线性规划解法中，我们把结果缓存在results列表，同时在results[il = rsutsti11 + resultsti 2]中进行了复用。这相当于我们只需完成图2中红色部分的计算任务即可，时间复杂度瞬间降为O(n) 。

目标3,按顺序从小往大算(完成)。 for循环实现了从0到n的顺序求解，让问题按着从小规模往大规模求解的顺序走。

堪称完美！