10 | 排序（下）：如何用快排思想在O(n)内查找第K大元素？

一、分治思想

1.分治思想：分治，顾明思意，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决，小的子问题解决了，大问题也就解决了。

2.分治与递归的区别：分治算法一般都用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。

二、归并排序

1.算法原理

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先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别进行排序，再将排序好的两部分合并到一起，这样整个数组就有序了。这就是归并排序的核心思想。如何用递归实现归并排序呢？写递归代码的技巧就是分写得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。递推公式怎么写？如下

递推公式：merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
终止条件：p >= r 不用再继续分解

2.代码实现

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// 归并排序
const mergeArr = (left, right) => {
    let temp = []
    let leftIndex = 0
    let rightIndex = 0
    // 判断2个数组中元素大小，依次插入数组
    while (left.length > leftIndex && right.length > rightIndex) {
        if (left[leftIndex] <= right[rightIndex]) {
            temp.push(left[leftIndex])
            leftIndex++
        } else {
            temp.push(right[rightIndex])
            rightIndex++
        }
    }
    // 合并 多余数组
    return temp.concat(left.slice(leftIndex)).concat(right.slice(rightIndex))
}

const mergeSort = (arr) => {
    // 当任意数组分解到只有一个时返回。
    if (arr.length <= 1) return arr
    const middle = Math.floor(arr.length / 2) // 找到中间值
    const left = arr.slice(0, middle) // 分割数组
    const right = arr.slice(middle)
    // 递归 分解 合并
    return mergeArr(mergeSort(left), mergeSort(right))
}

const res = mergeSort([3,1,5,4,0])
console.log(res)

3.性能分析

1）算法稳定性：

归并排序稳不稳定关键要看merge()函数，也就是两个子数组合并成一个有序数组的那部分代码。在合并的过程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之间有值相同的元素，那我们就可以像伪代码中那样，先把 A[p…q] 中的元素放入tmp数组，这样就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一种稳定排序算法。

2）时间复杂度：分析归并排序的时间复杂度就是分析递归代码的时间复杂度

      如何分析递归代码的时间复杂度？
      递归的适用场景是一个问题a可以分解为多个子问题b、c，那求解问题a就可以分解为求解问题b、c。问题b、c解决之后，我们再把b、c的结果合并成a的结果。若定义求解问题a的时间是T(a)，则求解问题b、c的时间分别是T(b)和T(c)，那就可以得到这样的递推公式：T(a) = T(b) + T(c) + K，其中K等于将两个子问题b、c的结果合并成问题a的结果所消耗的时间。这里有一个重要的结论：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。套用这个公式，那么归并排序的时间复杂度就可以表示为：
T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2T(n/2) + n； n>1，其中n就是merge()函数合并两个子数组的的时间复杂度O(n)。
T(n) = 2T(n/2) + n
= 2(2T(n/4) + n/2) + n = 4T(n/4) + 2n
= 4(2T(n/8) + n/4) + 2n = 8T(n/8) + 3n
= 8(2T(n/16) + n/8) + 3n = 16T(n/16) + 4n
......
= 2^k * T(n/2^k) + k * n
......
      当T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到k=log2n。将k带入上面的公式就得到T(n)=Cn+nlog2n。如用大O表示法，T(n)就等于O(nlogn)。所以，归并排序的是复杂度时间复杂度就是O(nlogn)。

3）空间复杂度：归并排序算法不是原地排序算法，空间复杂度是O(n)

为什么？因为归并排序的合并函数，在合并两个数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。为什么空间复杂度是O(n)而不是O(nlogn)呢？如果我们按照分析递归的时间复杂度的方法，通过递推公式来求解，那整个归并过程需要的空间复杂度就是O(nlogn)，但这种分析思路是有问题的！因为，在实际上，递归代码的空间复杂度并不是像时间复杂度那样累加，而是这样的过程，即在每次合并过程中都需要申请额外的内存空间，但是合并完成后，临时开辟的内存空间就被释放掉了，在任意时刻，CPU只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时空间再大也不会超过n个数据的大小，所以空间复杂度是O(n)。

三、快速排序

1.算法原理

快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从p到r之间的一组数据，我们选择p到r之间的任意一个数据作为pivot（分区点）。然后遍历p到r之间的数据，将小于pivot的放到左边，将大于pivot的放到右边，将povit放到中间。经过这一步之后，数组p到r之间的数据就分成了3部分，前面p到q-1之间都是小于povit的，中间是povit，后面的q+1到r之间是大于povit的。根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从p到q-1之间的数据和下标从q+1到r之间的数据，直到区间缩小为1，就说明所有的数据都有序了。

递推公式：quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)
终止条件：p >= r

2.代码实现

var quickSort = function(arr) {
    if (arr.length <= 1) {//如果数组长度小于等于1无需判断直接返回即可 
        return arr;
    }
    //取基准点 
    var pivotIndex = Math.floor(arr.length / 2)
    //取基准点的值,splice(index,1)函数可以返回数组中被删除的那个数
    var pivot = arr.splice(pivotIndex, 1)[0];
    var left = [];//存放比基准点小的数组
    var right = [];//存放比基准点大的数组 
    for (var i = 0; i < arr.length; i++){ //遍历数组，进行判断分配 
    　　if (arr[i] < pivot) {
    　　　　left.push(arr[i]);//比基准点小的放在左边数组 
    　　} else {
    　　　　right.push(arr[i]);//比基准点大的放在右边数组 
    　　}
    }
    //递归执行以上操作,对左右两个数组进行操作，直到数组长度为<=1； 
    return quickSort(left).concat([pivot], quickSort(right));
};

console.log(quickSort([5,8,3,6,9,4]))

3.性能分析

1）算法稳定性：

因为分区过程中涉及交换操作，如果数组中有两个8，其中一个是pivot，经过分区处理后，后面的8就有可能放到了另一个8的前面，先后顺序就颠倒了，所以快速排序是不稳定的排序算法。比如数组[1,2,3,9,8,11,8]，取后面的8作为pivot，那么分区后就会将后面的8与9进行交换。

2）时间复杂度：最好、最坏、平均情况

      快排也是用递归实现的，所以时间复杂度也可以用递推公式表示。
如果每次分区操作都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并的相同。
T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1
      所以，快排的时间复杂度也是O(nlogn)。
      如果数组中的元素原来已经有序了，比如1，3，5，6，8，若每次选择最后一个元素作为pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的，需要进行大约n次的分区，才能完成整个快排过程，而每次分区我们平均要扫描大约n/2个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就是O(n^2)。
前面两种情况，一个是分区及其均衡，一个是分区极不均衡，它们分别对应了快排的最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度。那快排的平均时间复杂度是多少呢？T(n)大部分情况下是O(nlogn)，只有在极端情况下才是退化到O(n^2)，而且我们也有很多方法将这个概率降低。

3）空间复杂度：快排是一种原地排序算法，空间复杂度是O(1)

四、归并排序与快速排序的区别

归并和快排用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？
1.归并排序，是先递归调用，再进行合并，合并的时候进行数据的交换。所以它是自下而上的排序方式。何为自下而上？就是先解决子问题，再解决父问题。

2.快速排序，是先分区，在递归调用，分区的时候进行数据的交换。所以它是自上而下的排序方式。何为自上而下？就是先解决父问题，再解决子问题。

五、思考

1.O(n)时间复杂度内求无序数组中第K大元素，比如4，2，5，12，3这样一组数据，第3大元素是4。
我们选择数组区间A[0...n-1]的最后一个元素作为pivot，对数组A[0...n-1]进行原地分区，这样数组就分成了3部分，A[0...p-1]、A[p]、A[p+1...n-1]。

如果p+1=K，那A[p]就是要求解的元素；如果K>p+1，说明第K大元素出现在A[p+1...n-1]区间，我们按照上面的思路递归地在A[p+1...n-1]这个区间查找。同理，如果K<p+1，那我们就在A[0...p-1]区间查找。
时间复杂度分析？

第一次分区查找，我们需要对大小为n的数组进行分区操作，需要遍历n个元素。第二次分区查找，我们需要对大小为n/2的数组执行分区操作，需要遍历n/2个元素。依次类推，分区遍历元素的个数分别为n、n/2、n/4、n/8、n/16......直到区间缩小为1。如果把每次分区遍历的元素个数累加起来，就是等比数列求和，结果为2n-1。所以，上述解决问题的思路为O(n)。

2.有10个访问日志文件，每个日志文件大小约为300MB，每个文件里的日志都是按照时间戳从小到大排序的。现在需要将这10个较小的日志文件合并为1个日志文件，合并之后的日志仍然按照时间戳从小到大排列。如果处理上述任务的机器内存只有1GB，你有什么好的解决思路能快速地将这10个日志文件合并？