[笔记] 线性代数

向量空间

集合和组
集合和组的区别，这两者都是一堆元素的组合，但集合是无序、不重复的，而组是有序、可重复且长度确定的。
域

R :全体实数的集合，即实数域，C：全体复数的集合，即复数域，F：包括R 和C

向量空间和向量

从 F 域中选择任意m个元素组成的有序列表，而所有有序列表的集合称为向量空间 $R^m$ ，这个集合中每一个有序列表，即向量
$\mathbf{F}^{m}=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{m}\right): x_{j} \in \mathbf{F}, j=1, \cdots, m\right\}$

例：在全体实数中选择两个数组成的有序列表如 (1,2)，(3,4),(-1,9),这些有序列表的全部集合即实数域的二维向量空间 $R^2$

向量空间的本质是多个向量的集合，那么这个集合的子集即 子空间 或者线性子空间

严格的向量空间数学定义是指满足交换律、结合律、加法单位元等等一些列运算规律的元素集合，但这种方式实在太抽象，不如从空间几何上理解，把向量看作为空间中一个个的箭头或者点，而这些箭头的集合就是向量空间，虽然看起来这个想象空间非常的拥挤。

线性组合

V是F域上的向量空间， $v_1,v_2,....v_n$ 是其中的一组向量，那么将这组通过标量乘法先后相加，即得到该向量组的一个线性组合
$a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m \\ v_1,v_2...v_m \in V \\ a_1,a_2...a_m \in F$

张成的空间

向量空间V中的一组向量通过 线性组合获得的所有向量的集合称为这一组向量的 张成空间
$span(v_1,...v_m)=\{a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m:a_1...a_m\in F\}$
张成描述的是多次线性组合的过程，而张成后形成的空间，依然是一个向量的集合。这个空间可以等于向量空间 V，也可以是 V的子集。

线性相关

对于空间 V中的一组向量 $\{v_1,...v_m\}$ ,如果使得 $a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m=0$ 的等式只有 $a_1=a_2=....a_m=0$ 的唯一解，那么称这一组向量是线性无关的，反之如果存在其他解这一组向量是线性相关的。

通俗的理解，线性无关or相关是描述一组向量的，在这一组向量中，其中任何一个向量都不能通过其他向量的线性组合获得到，那么这一组向量是线性无关的，反之则是线性相关的。从空间上理解，向量是空间里面的箭头，而线性组合包含的标量乘法和相加就是箭头的拉伸压缩和叠加，如果一组向量中，任何一个向量都无法通过其他向量的压缩和叠加来获得，那么自然是线性无关。

基向量

如果 V中的一组向量是线性无关的，且这一组向量的张成空间等于 V，那么这一组向量为基向量

V是向量空间，例如 $R^3$ ，代表实数的三维向量空间。基向量是一组向量，这一组向量张成的空间等于 V，即这一组向量通过线性组合，可以获得这个向量空间 V中的任意其他向量。
$v=a_1v_1+..a_mv_m,a_1...a_m\in F$
为什么基向量一定是线性无关的？因为如果基向量是线性相关的，那么在该组向量中必然存在某个向量 $u$ 可以通过该组中的其他向量线性组合得来。也就是说，这个向量 $u$ 对于基向量本身来说，是多余的，因此基向量必然线性无关。

向量的点积(内积)

如果向量 $\vec{v},\vec{u}$ 都是n维向量，那么两个向量的点积为各维度上数值的乘积的和:
$\boldsymbol{\vec{v}} \cdot \boldsymbol{\vec{u}}=\boldsymbol{\vec{u}} \cdot \boldsymbol{\vec{v}}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$
向量的点积是标量，当点积为0时，表示两向量是正交的。

向量的叉积(外积)

向量 $\vec{v},\vec{u}$ 的叉积是向量，膜长为 $\vec{v},\vec{u}$ 构成的“面积”大小，方向正交与 $\vec{v},\vec{u}$ 张成的空间，满足右手定则。

线性映射和矩阵

线性映射也就是线性变换，其本质是一种函数，输入和输出都是向量空间，描述的是向量空间V映射到向量空间W的运动过程。从V 到W的线性映射必须满足两个条件：

加性

对于所有的 $u,v \in V$ 线性变换T满足 $T(u+v)=T(u)+T(v)$

齐性

对于所有的 $u \in V,\lambda \in F$ 线性变换T满足 $T(\lambda u)=\lambda T(u)$

线性变换的数学符号就是矩阵，矩阵即线性变换的信息载体。那么如何理解矩阵的数学含义？

<1>线性变换的对象是向量空间，即空间V中的全部任意向量

<2>任何一个向量空间中的所有向量都可以通过基向量的线性组合获得

<3>经过线性变换后，新的向量空间中的所有向量是新的基向量线性组合结果

<3>只要记录原空间 V的基向量线性变换后的新坐标，就可以通过线性组合推导出任意向量经过线性变换后的新坐标

所以，矩阵记录的是，经过线性变换后，原来的基向量在新向量空间中的位置信息

例如对于R²的空间V 有一对基向量 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ，对于任意一个该空间的向量 $p(x,y)$ 可以表示成 $\vec{p}=x\vec{i}+y\vec{j}$ 。经过线性变换后， $\vec{p}$ -> $\vec{q}$ ，基向量 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ --> $\vec{i^{\prime}}$ , $\vec{j^{\prime}}$ 。假设变换后新的基向量坐标为 $\left[\begin{array}{l}a\\b\end{array}\right]$ , $\left[\begin{array}{l}c\\d\end{array}\right]$ 那么 $\vec{q}$ 可以表示为:
$\vec{q}=x\left[\begin{array}{l}a\\b\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{l}c\\d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}ax+cy\\bx+dy\end{array}\right]$
将变换后的基向量作为列向量组合在一起，就变成了矩阵 matrix,记作 $M(T)$
$matrix=\left[\begin{array}{l}a &c\\b & d\end{array}\right]$

从空间几何角度去看待矩阵，要比从多元一次方程组来看待矩阵要直白形象得多。

逆矩阵

矩阵T表示从向量空间 V到向量空间W的映射关系，那么矩阵S表示从W到T的映射关系，则T为W的逆矩阵，W为T的逆矩阵。一个矩阵与它的逆矩阵相乘所得为单位矩阵 I，单位矩阵表示恒等映射，即一模一样的空间映射。
$T T^{-1}=T^{-1}T=I$

矩阵的转置

矩阵A 的转置 $A^t$ 是通过互换行列的角色得到的矩阵：
$(A^t)_{k,j}=A_{j,k}$

矩阵的秩

对于矩阵 $A^{m*n}$ ,其行秩为 $m$ ,列秩为 $n$ 。矩阵A的秩等于矩阵A的列秩

行列式

在线性映射过程中，原向量空间的基向量 $\vec{i},\vec{j}$ 被映射到了 $\vec{i`},\vec{j`}$ ,行列式表示映射完成后，新的基向量构成的"面积"，这里的面积是广义的，如果是 $F^2$ 的映射，那么是平行四边形的面积，如果是 $F^3$ 的映射，那么指的是平行四面体。行列式是描述线性映射后对空间的影响的一个指标。例如，如果 $det{A}=0$ 那么原向量空间被映射到更低的维度上，甚至直接被拍扁在0维。对于较简单的二维矩阵行列式计算如下:
$det(\left[\begin{array}{l}a &c\\b & d\end{array}\right])=ad-bc$

零空间

对于线性映射T，T的零空间(记作 $null T$ )是指向量空间 V中那些被T 映射到0上的向量的集合。
$null T=\{v \in V:Tv=0\}$
即输入的向量集V，经过线性映射T 后形成了新的向量集W，这个过程中，原属于V中的一部分向量经过映射后，“不幸”的被拍死在零点（原点）上，这群不幸的向量的集合就是线性映射的零空间 nullT，零空间是 V的子空间。

特征向量、特征值

对于算子T，将空间V映射到W的过程中，一部分向量 $\vec{v}$ 被映射到 $\lambda \vec{v}$ 上，则 $\lambda$ 为特征值， $\vec{v}$ 是基于 $\lambda$ 的特征值。一个n*n的矩阵有n个特征值，特征值之和为矩阵的迹
$T\vec{v}=\lambda \vec{v} \\ \vec{v}\in{V}$

特征向量的特性在于，经过同一个矩阵进行映射，无论多少次，特征向量的方向始终不变，而模长变为 $\lambda$ 的k次幂倍。这一特点在求解矩阵的n次幂时非常重要:
$A^k\vec{v}=\lambda^k\vec{v},\lambda 为特征值，v为特征向量$

参考资料:

《线性代数应该这样学》第三版
线性代数的本质 - 系列合集

最后编辑于：2021.04.08 00:53:22

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 218,451评论 6赞 506
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 93,172评论 3赞 394
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 164,782评论 0赞 354
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,709评论 1赞 294
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,733评论 6赞 392
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,578评论 1赞 305
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,320评论 3赞 418
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 39,241评论 0赞 276
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,686评论 1赞 314
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,878评论 3赞 336
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,992评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,715评论 5赞 346
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,336评论 3赞 330
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,912评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 33,040评论 1赞 270
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 48,173评论 3赞 370
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,947评论 2赞 355