高等数学：微分中值定理与导数的应用题选(4)

1.设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有n阶导数,且 $f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}\neq 0$ ,证明：

(1)当n为奇数时,f(x)在 $x_0$ 处不取得极值

(2)当n为偶数时,f(x)在 $x_0$ 处取得极值,且当 $f^{(n)}(x_0)\lt 0$ 时, $f(x_0)$ 为极大值,当 $f^{(n)}(x_0)\gt 0$ 时, $f(x_0)$ 为极小值

证：

$f(x)在x_0处带Peano余项的n阶泰勒展开式为$

$f(x)=f(x_0)+{f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

$即f(x)-f(x_0)={f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

$(1)n为奇数时$

${f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n在x_0两侧异号$

$\therefore f(x)-f(x_0)在x_0两侧异号$

$\therefore f(x)在x_0处不取得极值$

$(2)n为偶数时$

$(x-x_0)^n\gt 0,若{f^{(n)}(x_0)\over n!}\lt 0,则f(x)-f(x_0)\lt 0,即f(x_0)为极大值$

$若{f^{(n)}(x_0)\over n!}\gt 0,则f(x)-f(x_0)\gt 0,即f(x_0)为极小值$

2.设常数 $k\gt 0$ ,函数 $f(x)=lnx-{x\over e}+k$ 在 $(0,+\infty)$ 内有多少零点

解：

$f'(x)={1\over x}-{1\over e}$

$令f'(x)=0得驻点x=e$

$当0\lt x\lt e时,f'(x)\gt 0,f(x)在(0,e)上单调递增$

$当e\lt x\lt +\infty时,f'(x)\lt 0,f(x)在(e,+\infty)上单调递减$

$又\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty,\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty,f(e)=k\gt 0$

$\therefore f(x)在(0,e)和(e,+\infty)内均有且仅有一个根$

3.设 $\lim\limits_{x\to \infty}f'(x)=k$ ,求 $\lim\limits_{x\to \infty}[f(x+a)-f(x)]$

解：

$\because f'(x)存在$

$\therefore f(x)是连续函数$

$由Lagrange定理知$

$\exists \xi\in(x,x+a),或(x+a,x),使得$

$f(x+a)-f(x)=f'(\xi)a,其中\xi介于x与x+a之间$

$x\to +\infty时,\xi\to +\infty$

$\therefore \lim\limits_{x\to \infty}[f(x+a)-f(x)]=\lim\limits_{x\to \infty}af'(\xi)=a\lim\limits_{x\to \infty}f'(\xi)=ak$

4.设 $a_0+{a_1\over 2}+\cdots+{a_n\over n+1}=0$ ,证明多项式 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 在(0,1)内至少有一个零点

解：

$设F(x)=a_0x+{1\over 2}a_1x^2+{1\over 3}a_2x^3+\cdots+{1\over n+1}a_nx^{n+1}$

$F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导$

$F(0)=0,F(1)=a_0+{a_1\over 2}+\cdots+{a_n\over n+1}=0$

$由Rolle定理知,$

$\exists \xi\in (0,1),使F'(\xi)=0$

$又F'(x)=f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$

$\therefore f(x)在(0,1)内至少有一个零点$

5.设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明存在一点 $\xi\in(0,a)$ ,使 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$

解：

$设F(x)=xf(x),则F(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导$

$且F(0)=F(a)=0$

$由Rolle定理知,$

$\exists\xi\in (0,a),使F'(\xi)=0$

$即f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$

6. $\lim\limits_{x\to 1}{x-x^x\over 1-x+lnx}$

解：

(x^{x-1})'=[e{(x-1)lnx}]'=x^{x-1}(lnx+{x-1\over x})$

$原式=\lim\limits_{x\to 1}{1-x^{x-1}\over {lnx+1\over x}-1}$

$\lim\limits_{x\to 1}{-x^{x-1}(lnx+{x-1\over x})\over {1-(lnx+1)\over x^2}-1}$

$\lim\limits_{x\to 1} x^{x+1}(1+{x-1\over xlnx})$

$1+\lim\limits_{x\to 1}{1\over 1+lnx})=2$

7. $\lim\limits_{x\to 0}[{1\over ln(1+x)}-{1\over x}]$

解：

$原式=\lim\limits_{x\to 0}[{x-ln(1+x)\over xln(1+x)}]$

$=\lim\limits_{x\to 0}[{x-ln(1+x)\over x^2}]$

$=\lim\limits_{x\to 0}[{1-{1\over 1+x}\over 2x}]$

$=\lim\limits_{x\to 0}[{1\over 2(1+x)}]={1\over 2}$

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