多元统计分析作业2

2.1

根据题目可知：,
$E(X)= \mu=\begin{bmatrix}2\\0\\0\\ \end{bmatrix}$ $D(X)=2I_3=\begin{bmatrix}1& & \\&1&\\&&1\\\end{bmatrix}$

$\mu_y=E(Y)=E(A X+d)=E(A X)+d=A E(X)+d=A \mu+d=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right]$
$\Sigma_{y}=D(Y)=D(A X+d)=A D(X) A^{T}=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right]$

故： $Y \sim N\left(\mu_{y}, \Sigma_{y}\right)$

2.2

设 $Y_1=X_1+X_2$ ， $Y_2=X_1-X_2$

$\begin{align} COV(Y_1,Y_2)&=COV(X_1+X_2,X_1-X_2)\\ &= \sigma_1^2COV(X_1,X_2)+COV(X_2,X_1)-\Sigma_1\\ &=\sigma^2(1-\rho+\rho+1)\\ &=0 \end{align}$

所以 $X_1+X_2$ 和 $X_1-X_2$ 相互独立。

$X_1+X_2\sim N\left(\mu_1+\mu_2, 2 \sigma^2(1+\rho \right)$
$X_1-X_2 \sim N\left(\mu_{1}-\mu_2, 2 \sigma^2(1-\rho \right)$

2.3

设 $Y_1=X^{(1)}+X^{(2)}$ ， $Y_2=X^{(1)}-X^{(2)}$

$\begin{align} COV(Y_1,Y_2)&=COV(X^{(1)}+X^{(2)},X^{(1)}-X^{(2)})\\ &= \Sigma_1-COV(X^{(1)},X^{(2)})+COV(X^{(2)},X^{(1)})-\sigma_2^2\\ &=\Sigma_1-\Sigma_2+\Sigma_2-\Sigma_1 \\ &=O_{p\times p} \end{align}$
所以， $X^{(1)}+X^{(2)}$ 和 $X^{(1)}-X^{(2)}$ 相互独立

最后编辑于：2020.04.07 12:45:22

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