2.2.1 证明加法结合律：对任意的自然数a,b,c，(a+b)+c = a+(b+c).
用数学归纳法证明：
c=0时，(a+b)+0 = a+b （根据引理2.2.2）
a+(b+0) = a+b
假设当c=n时，等式(a+b)+n= a+(b+n)成立，现在证明c=n++时，等式(a+b)+(n++)= a+(b+(n++))也成立
(a+b)+(n++)=(n++)+(a+b)=(n+(a+b))++=((a+b)+n)++
a+(b+(n++))=a+((n+b)++))=a+((b+n)++))= ((b+n)++))+a=((b+n)+a)++=(a+(b+n))++
由于(a+b)+n= a+(b+n)
所以((a+b)+n)++=(a+(b+n))++，即(a+b)+(n++)= a+(b+(n++))

2.2.2 若a是正数，证明恰存在一个自然数b,使得b++=a.
使用数学归纳法
当a=1时（是这样么?），1=0++,根据公理4,仅存在b=0
假设a=n时，恰存在自然数b使b++=n
当a=n++时，n++=(b++)++，同样根据公理4，仅存在自然数b++使等式成立。
(也就是说，任何一个不为0的自然数一定是某个自然数的后继。只根据公理3能得出如果一个数不是任何自然数的后继它就是0吗？)

2.2.3 自然数的序的基本性质
(a) 序是自反的：a>=a.
证明：a = a + 0,即存在自然数n = 0使 a = a + n

(b) 序是传递的： 若 a>=b 且 b>=c, 则 a>=c
证明： a>=b, 那么存在自然数m使得 a = b + m
b>=c, 那么存在自然数n使得 b = c + n
a = b + m = c + n + m = c + (n + m) ， n + m 为自然数（根据加法的定 义），即 a >= c
(c)序是反对称的： 若a>=b 且 b>=a， 则 a=b
证明： a = b + m
b = a + n
a = a + n + m = a + (n + m)
a = a + 0 = a + (n + m )
根据加法结合律和命题2.2.6有 n + m = 0
若 n != 0, m = 0, 则 n + m = n + 0 = n != 0, 与 n + m = 0矛盾
若 n = 0, m != 0, 则 n + m = 0 + m = m != 0, 与 n + m = 0矛盾
若 n != 0, m != 0,则根据加法的定义，n + m 必为某个自然数的后继，而
n + m = 0 不为任何自然数的后继，所以还是矛盾
所以 n = 0, m = 0
即 a = b
(d) 加法保序： a >= b 当且仅当 a + c >= b + c
证明：(1) 先证 a >= b时， a + c >= b + c
存在自然数 m 使a = b + m, a + c = b + m + c = b + c + m
即 a + c >= b + c
(2) 再证 a + c >= b + c时， a >= b
存在自然数n 使得 a + c = b + c + n, 根据命题2.2.6有
a = b + n, 即 a >= b
(e) a < b 当且仅当 a++ <= b.
证明： (1) a < b ,则 存在自然数m , b = a + m且 b != a， 由反正法知 m != 0,
那么 m 必为 某一自然数n 的后继 即 m = n++ （根据习题2.2.2）
则有 b = a + (n++) ，根据推论 n++ = n + 1 可得到
b = a + (n + 1) = a + (1 + n) = ( a + 1) + n = (a++) + n,即 a++ <= b
(2) a++＜＝b， 则 存在自然数m使b = (a++) + m
b = (a++) + m = a + 1 + m = a + (m++)
根据公里3有 m++ != 0， 则 b != a 也就是 a < b
(f) a < b 当且仅当对于某正数d，b = a + d
证明： (1)a < b， 存在自然数m 使得 b = a + m且b != a， 由反正法知 m != 0
也就是m是正数，则存在正数d 使得 b = a + d
(2) b = a + d ,若d 为某正数即 d != 0，也就是说 b != a， 那么 a < b