圆锥曲线
双曲线
定义: 到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹.
焦点在
轴上.
设 为左焦点,
为右焦点,
为双曲线上一点
离心率:
离心率与形状的关系
设
实轴长:
虚轴长:
焦点:
焦距:
通径: 过焦点的垂直于 轴(或
轴)的直线与双曲线的两交点A,B之间的距离,即
焦点三角形:
焦点三角形面积:
过双曲线上一点 的切线为
离心率相同的双曲线
渐近线方程:
准线:
等轴双曲线
实轴长、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线。若焦点在 轴上,则方程为
易知等轴双曲线的离心率为 .
共轭双曲线
和
互为共轭双曲线,他们有共有的渐近线,设他们的离心率分别为
和
,易知
.
- 焦点到渐近线的距离为
.
- 过焦点做渐近线的垂线,垂足是渐近线与准线的交点.
- 双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值
1
(2016年全国卷2理11) 已知 是双曲线
的左、右焦点,点
在
上,
与
轴垂直,
,则
的离心率为______.
Sol:
由题意知
即
易得
又由定义得
2
已知 是椭圆
的两个焦点,平面内一个动点
满足
,则动点
的轨迹是______.
Sol:
由椭圆方程可得椭圆标准方程:
得焦点为
由双曲线定义知,动点 的轨迹为双曲线
动点
轨迹为
.
3
已知双曲线 ,直线
过点
,斜率为
,当
时,双曲线的上支上有且仅有一点
到直线
的距离为
. 试求
的值及此时点
的坐标.
Sol:
过点
且斜率为
可设直线
为
设点 为双曲线
上支上的一点,则点
到直线
的距离为
又有 ,因此
,从而
于是方程(1)整理得
由 可知:
方程
两根同正,
又有且仅有一点 ,所以两根应该相同.
可解得