圆锥曲线(2)

圆锥曲线

双曲线
定义: 到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹.

$\displaystyle\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,\;(a>0,b>0)$ 焦点在 $x$ 轴上.

设 $F_1$ 为左焦点， $F_2$ 为右焦点， $P$ 为双曲线上一点

$|PF_1-PF_2|=2a$

离心率: $\displaystyle e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\;(e>1)$
离心率与形状的关系
设 $\angle F_1F_2P=\alpha,\,\angle F_2F_1P=\beta$
$e=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{|\sin\alpha-\sin\beta|}$
实轴长: $2a$
虚轴长: $2b$
焦点: $(-c,0),\;(c,0)$
焦距: $2c$
通径: 过焦点的垂直于 $x$ 轴（或 $y$ 轴）的直线与双曲线的两交点A，B之间的距离，即 $|AB|=\dfrac{2b^2}{a}$
焦点三角形: $\displaystyle\triangle F_1PF_2$
焦点三角形面积: $S=\dfrac{b^2}{\tan\frac{\theta}{2}}\;(\angle F_1PF_2=\theta)$
$c^2=a^2+b^2$
$4c^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1|\cdot|PF_2|\cdot\cos\theta$

过双曲线上一点 $P_0(x_0,\,y_0)$ 的切线为
$\displaystyle\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1$
离心率相同的双曲线 $\displaystyle\dfrac{x^2}{(ma)^2}-\dfrac{y^2}{(mb)^2}=1$

渐近线方程: $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=0$
准线: $x=\pm\dfrac{a^2}{c}$

等轴双曲线

实轴长、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线。若焦点在 $x$ 轴上，则方程为 $x^2-y^2=a^2\,(a\not=0)$
易知等轴双曲线的离心率为 $\sqrt{2}$ .

共轭双曲线

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 和 $\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1$ 互为共轭双曲线，他们有共有的渐近线，设他们的离心率分别为 $e_1$ 和 $e_2$ ，易知 $\dfrac{1}{e_1^2}+\dfrac{1}{e_2^2}=1$ .

焦点到渐近线的距离为 $b$ .
过焦点做渐近线的垂线，垂足是渐近线与准线的交点.
双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值 $\dfrac{a^2b^2}{c^2}$

1

(2016年全国卷2理11) 已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点，点 $M$ 在 $E$ 上， $MF_1$ 与 $x$ 轴垂直， $\sin\angle MF_2F_1=\dfrac{1}{3}$ ，则 $E$ 的离心率为______.

Sol:
由题意知 $\sin\angle MF_2F_1=\dfrac{1}{3}$
即 $\dfrac{MF_1}{MF_2}=\dfrac{1}{3}$
易得 $|MF_1|=\dfrac{b^2}{a}$
又由定义得 $|MF_2|=\dfrac{b^2}{a}+2a$
$\therefore 3b^2=b^2+2a^2\Rightarrow a^2=b^2$
$e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2}$

2

已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=4$ 的两个焦点，平面内一个动点 $M$ 满足 $|MF_1|-|MF_2|=2$ ，则动点 $M$ 的轨迹是______.

Sol:
由椭圆方程可得椭圆标准方程： $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$
得焦点为 $(2,0),\;(-2,0)\Rightarrow c=2$
由双曲线定义知，动点 $|M|$ 的轨迹为双曲线 $a=1$
$\therefore b^2=c^2-a^2=3$
$\therefore$ 动点 $M$ 轨迹为 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ .

3

已知双曲线 $C:\dfrac{y^2}{2}-\dfrac{x^2}{2}=1$ ，直线 $l$ 过点 $A(\sqrt{2},0)$ ，斜率为 $k$ ，当 $0<k<1$ 时，双曲线的上支上有且仅有一点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ . 试求 $k$ 的值及此时点 $B$ 的坐标.

Sol:
$\because l$ 过点 $A(\sqrt{2},0)$ 且斜率为 $k$
$\therefore$ 可设直线 $l$ 为 $y=k(x-\sqrt{2})$

设点 $M(x,\sqrt{2+x^2})$ 为双曲线 $C$ 上支上的一点，则点 $M$ 到直线 $l$ 的距离为

$\dfrac{|kx-\sqrt{2+x^2}-\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{2},\,(0<k<1)\quad(1)$

又有 $0<k<1$ ，因此 $\sqrt{2+x^2}>|x|>kx$ ，从而
$|kx-\sqrt{2+x^2}-\sqrt{2}k|=\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2}k-kx$

于是方程（1）整理得

$\begin{aligned} &\Leftrightarrow \sqrt{2+x^2}+\sqrt{2}k-kx=\sqrt{2(k^2+1)}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} (\sqrt{2+x^2})^2=(\sqrt{2(k^2+1)}-\sqrt{2}k+kx)^2\\ \sqrt{2(k^2+1)}-\sqrt{2}k+kx>0\\ \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} (k^2-1)x^2+2k(\sqrt{2(k^2+1)}-\sqrt{2}k)x+(\sqrt{2(k^2+1)}-\sqrt{2}k)^2-2=0\\ \sqrt{2(k^2+1)}-\sqrt{2}k+kx>0. \end{cases} \end{aligned}$

由 $0<k<1$ 可知：

方程
$(k^2-1)x^2+2k(\sqrt{2(k^2+1)}-\sqrt{2}k)x+(\sqrt{2(k^2+1)}-\sqrt{2}k)^2-2=0$
两根同正，
又有且仅有一点 $M$ ，所以两根应该相同.
$\therefore \Delta=0$
可解得 $k=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$

最后编辑于：2019.11.12 08:41:04

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