“ 数字不能说明一切，

但是一切都需要数字来证明。”

—— 费波纳科利·切雅斯

这是屠夫的第 282 篇原创，全文 3000 字

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金钱永不眠，屠夫问候各位早安。

更新频率超低（几乎按年计算），但是篇篇爆款的『硬币赌博』系列，把蒙特卡洛模拟玩了好多遍：

第1枚硬币，讲「赔率」

第2枚硬币，讲「概率」

第3枚硬币，讲「理性」

第4枚硬币，讲「仓位控制」

可是关于蒙特卡洛模拟本身，每次屠夫都只有短短两句话：

蒙特卡洛模拟又叫统计模拟法……blablabla……

今天咱们就来详细聊聊蒙特卡洛模拟。

01  从求π值说起

提起圆周率π，多数人脱口而出的数字是“3.14”。

怎么求出来呢？

根据课本所说，无论是古希腊的阿基米德，还是古中国的刘徽、祖冲之，都是运用“迭代 + 数值逼近”的方法。

简单来说，是用圆的内接或外切多边形进行近似，求得圆周率 π ≈ 3.14。

有别的解法吗？

有，比如蒙特卡洛方法。

咱们先找一张正方形的纸，在上面画出它的内切圆（和4边都相切）：

咱们在纸上随机打点，有的落在圆内 (x个亮点)，有的会落在圆外（y个暗点）：

当我们打点的数量足够多时（比如上百万个），圆内点的个数（x）除以所有点的个数（x+y），就等于内切圆面积与正方形面积的比值：

x/(x+y) = S圆/S正方形

圆面积是 S圆 = π*r2 ，正方形面积是 S正方形 =  (2r)2 （因为正方形边长为2r），上述等式变成：

π = 4x/(x+y)

而x和y都是已知的，套入上述公式就能求出π。

同样的招数，还可以用来求不规则图形的面积。

只要能确定“随机点是否在图形内”，就能求解

—— 完全不需要任何微积分知识：

是不是挺暴力的？

02  为什么需要蒙特卡洛？

上面的例子很好地展示了蒙特卡洛模拟的特点：通过生成随机样本获得近似解。

随机样本的数量越多、越贴近现实，近似解会越逼近真实结果

—— 这是一种通过计算机“暴力运算”的办法。

蒙特卡洛模拟有两大优点：简单和快速。

简单，是因为省去了晦涩的数学推导，普通人易理解；

快速，是因为确定概率模型后的运算完全交给计算机。

优点是有了，什么情况下该用它呢？

你需要了解「直接法」和「间接法」。

所谓直接法，是给定一个模型，调整模型中的各个参数，模拟出尽可能多的结果。

『硬币赌博』系列是最典型的直接法：

【模型】只有正反两个结果，每局结果相互独立，赌徒资金相互独立，资金耗尽或为负出局

【参数】正反的概率、对错的赔率、最大最小下注额、每局下注策略、赌徒人数、赌博局数

【结果】每个赌徒结束时的资金余额情况

所谓间接法，是给定一个模型，随机模拟大量结果，反求和模型相关的某个参数。

上面求π值的例子，用的是间接法：

【模型】正方形面积公式 + 圆面积公式

【结果】落在内切圆里的点有x个，落在圆外的有y个

【参数】圆面积公式里的π

直接法的逻辑是：有模型，有参数，随机模拟的结果才是我要的。

间接法的逻辑是：有模型，有结果，模型相关的参数才是我要的。

无论是直接法还是间接法，蒙特卡洛模拟的基础是模型。

这种方法，其实有更深刻的思想内涵。

03  蒙特卡洛背后的思维

蒙特卡洛方法以“建模”为基础，其实蕴含着两种关键性思维：抽象和拆解。

先说说「抽象」。

抽象思维的背后其实有两种逻辑：归纳和演绎。

归纳，是“从个别到一般”：从多个实例提取出规律。

演绎，是“从一般到个别”：将规律应用到具体实例。

比如说掷硬币这事 ——

咱们可以通过日常观察，得出“掷硬币通常只有正反两种结果”，这是归纳；

而将这条规律设定为限制条件，从而让每次模拟结果都服从于它，这是演绎。

一般人只能捕捉现象，投资者需要把握本质。

现象和本质之间的来回切换，需要抽象思维。

从已观察过的「现象」中提炼出「本质」，再生成更多未观察过、但服从「本质」的新的「现象」，就是蒙特卡洛方法的精髓。

再聊聊「拆解」。

我们身处一个VUCA世界：集 易变性（Volatility），不确定性（Uncertainty），复杂性（Complexity）和模糊性（Ambiguity） 于一体。

现实问题大多是复杂而模糊的，这需要我们进行逐步分析，把问题拆解成一个个相对简单的因子。

就拿π值计算的例子来说吧，面积公式 S圆 = π*r2 和 S正方形 =  (2r)2 其实就是一个拆解的过程。

借助这两个公式，图形面积被拆解成π、半径r和边长2r，我们才能在后面的计算中把π值和圆内点个数x、圆外点个数y建立起联系，从而求出π。

一般人害怕复杂和模糊，投资者善于分析挖掘。

财务分析里经典的「杜邦分析法」，就是运用拆解思维将笼统庞大的ROE（净资产收益率）进行解构，转换成若干个易理解、好衡量、可提升的指标。屠夫在第一次学习的时候，由衷地折服于这套方法背后的拆解思维。

蒙特卡洛以“建立模型”为基础，对抽象思维和拆解思维有很高要求。

抽象，是以归纳演绎，联通现象和本质；

拆解，是靠分析挖掘，对复杂问题解构。

投资者固然需要提升自己的思维能力，但是光讲这些也未免太“虚”了。

蒙特卡洛模拟有更具体的投资应用吗？

有！

04  投资里的蒙特卡洛

投资年限长点的人，应该听说过压力测试。

所谓压力测试（Stress Testing），是指将资产组合置于某个特定的极端情况，测试该组合在这种情境下的表现状况。

比如利率突然上升100个BP（Base Point），又或者某类货币突然贬值30%，再或者股市暴跌50%，都可以作为压力测试的假设条件。

这些极端情况可以是历史曾经发生过，也可以是未发生过的，毕竟

—— 撞上冰山前，泰坦尼克号从未撞过冰山。

没错，这种“大开脑洞”的情形，真的很适合蒙特卡洛模拟。

就拿上面的例子来说，我们可以对未来一年的沪深300做一些假设*：

上涨20%以上的概率为20%

上涨10%~20%的概率为30%

上涨不超过10%的概率为35%

下跌10%~20%的概率为10%

下跌20%以上的概率为5%

*屠夫注：以上数据纯属瞎拍，实际假设前请至少参考一下历史数据

而通过历史数据回测，得知你的投资组合相对于沪深300的β值约为1.25*。

将上述假设的上涨/下跌幅度乘以1.25，就能计算出你的组合在未来一年的收益期望。

*屠夫注：也就是说，沪深300上涨1时组合上涨1.25，下跌1时组合下跌1.25

把更多因子考虑进去，可以建立一个更复杂（也可能更脆弱）的模型。

通过各个因子的概率分布，我们可以模拟出成千上万种可能性，再去检查我们的投资组合是否在所有可能性下都安然无恙。

回过头来重看《可怕的凯利公式》一文，其实是对仓位控制策略的一次压力测试。

在这个测试里，「固定下注」和「马丁格尔」都只能做到线性回报（只能靠堆砌时间来增加获利），只有「凯利公式」做到指数回报，实现真正的复利效应。

除此之外，马丁派战术还有一定的破产爆仓风险（1000人只有828个活到第1万局），而凯利公式相当安全（1000人全部活到最后），这可是个非常重要的决策依据。

怎么样，蒙特卡洛模拟还是挺有帮助的吧？

05  写在最后

为了减少对阅读者的数学和编程背景要求，本文省略了很多细节。

真要考究起来，这个话题的篇幅足以够上一篇小论文。

可咱们又不是做学术研究，所以屠夫也就省了这种功夫啦。

对于只为学习方法、升级认知的人而言，本文把蒙特卡洛方法和背后的思维，大致讲明白了。

在实际应用中，蒙特卡洛模拟还能有很多有趣的玩法，留给大家自己摸索，细细品味。