电磁波、脑电波、声音、图像，这些现象的背后，都是振动，振动有频率、振幅、相位这三个要素。泛一点讲，世间一切都是振动，都是波。所有才有了弦论，用最微小的构造，就是振动的弦，来构建这个宏大的宇宙的世界观。

你没感觉身体哪处正在振动，但脑电波是实实在在的。你看得到红绿色，看不到红外线，是因为光的振动频率不同，你能听见并区分同时几个人说话的声音，也是因为声波的振动频率不同。

而傅立叶变换为我们打开了一扇门，一扇与真理相通的大门，透过傅立叶变换，就能理解这宇宙万物背后的运行规律。

一、傅立叶级数---周期函数的正交基分解：

1、标准正交基。就像二维笛卡尔坐标，一个点，总是可以表示为（x，y），横纵方向的值；三维空间任何一点，总是可以表示为（x,y,z）,推广下，任意N维的值，总是可以分解成N个正交基的（x1,x2,……xN）

2、法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）

3、给定一个周期为T的函数x(t)，那 么它可以表示为无穷级数，就是表现为标准无限维正交基的和

这个式子需要数学证明吗？不需要，因为上面两个式子是构造出来的，已经逻辑自洽了。但这并非对所有x(t)都适用。因为上面的ak要能得出来，需要积分可积等条件---狄里赫利条件：

（1）函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋于这个间断点时，函数有有限的左极限和右极限）

（2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。

（3）x(t)在单个周期内绝对可积，即

4、把这些周期函数，搞成傅立叶级数形式，就相当于对信号进行了方向上的分解，把各个正交方向上的分量分离了出来，分离后，大家就可以抽取出自己想要的方向，进行专门的分析了。不过傅立叶级数用处不大，自然界的信号，严格周期化的不多，所以需要推广到非周期的处理。

二、傅立叶变换---非周期函数的正交基分解：

这个分成两类，一个是连续函数的傅立叶变换，一个是离散函数的傅立叶变换

连续傅立叶变换公式：

离散傅立叶变换公式（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT）：

上面公式顺理成章，没啥特别的，不过也要满足函数信号充分可积的要求。这些公式都是自洽，不需要额外做证明的，一个公式套入另一个公式，就证明了这种分解的正确性。

1、傅立叶变换，与自然实验匹配，将一个函数信号，进行正交分解后，分成了多个方向上的分量

2、通过滤波，可以去除自己不想要的正交分量上的数据，提取出自己想要的正交分量上的数据。

三、傅立叶变换的采样

采样在傅立叶理论中非常重要，现在是数字信息时代，你不可能去传输一个连续信号，而是要将信号先采样，然后再编码并传输出去，那采样频率应该多少，才不会丢失信息呢？

Nyquist（奈奎斯特）采样定律：

在进行模拟/数字信号的转换过程中，在一个信号周期内当采样频率大于信号中最高频率的2倍时，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。

再举一个通俗的比喻，男生声音频率较低，在时域波形上，波动就不会很剧烈（剧烈代表频率高），采样的时候，只要高于这个男生频率的两倍，采集信息就可以了。

四、连续傅立叶变换的扩展，拉普拉斯变换，S域分析

f(t) 函数经常不满足可积的条件，于是给这个函数乘一个衰减因子，使得其可积。

因为拉普拉斯变换是用符号S作为频域符号，所以在频域分析就变成S域分析。

五、离散傅立叶变换的扩展，Z变换

Z变换与拉普拉斯变换一样，也是为了解决累加不收敛的问题，加了一个因子，

当z的模为1时，x[n]的Z变换即为x[n]的离散傅立叶变换

六、总结

现实生活中，有些信号是在时域表现清晰，有些信号确是在频率才能表现出规律，所以傅立叶变换，给我们提供了一个全新的维度频域去理解世界，而这个频域的维度，恰恰是与生命、宇宙的本来面目想对应的。