2020-05-09 1.电磁场的量子化

1.1 场的量子化

自由电磁场的 Maxwell 方程组:

$\begin{align}\nabla\cdot B&=0\\\nabla\times E&=-\frac{\partial B}{\partial t}\\\nabla\cdot D&=0\\\nabla\times \mathbf{H}&=\frac{\partial D}{\partial t}\end{align}$

其中 $B=\mu_0 \mathbf{H},~D=\varepsilon_0 E$ ， $\mu_0,~\varepsilon_0$ 是真空磁导率 (magnetic permeability) 和电导率 (electric permeability)，并且有 $\mu_0\varepsilon_0=c^{-2}$ ， $c$ 为真空中的光速。

自由电磁场（无源场）的 Maxwell 方程是规范不变的。这里选取 Coulomb 规范。在 Coulomb 规范下， $B$ 和 $E$ 可以由矢势 (vector potential) $A(\mathbf{r}, t)$ 决定：

$\begin{align}B&=\nabla\times A\\E&=-\frac{\partial A}{\partial t}\end{align}$

并且满足规范条件

$\nabla \cdot A =0$

将电场强度和磁感应强度的表达式代入 Maxwell 方程组中，可以发现矢势 $A(\mathbf{r}, t)$ 满足波动方程：

$\nabla^{2} A(\mathbf{r},t)=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A(\mathbf{r},t)}{\partial t^2}$

我们将矢势分成两个复数项， $A^{(+)}(\mathbf{r},t)$ 包含所有按 $e^{-i\omega t}$ 形式变化的振幅， $A^{(-)}(\mathbf{r},t)$ 包含所有按 $e^{i \omega t}$ 形式变化的振幅：

$A(\mathbf{r},t)=A^{(+)}(\mathbf{r},t)+A^{(-)}(\mathbf{r},t)$

其中频率 $\omega>0$ ， $A^{(-)}=(A^{(+)})^*$ .

对振幅做傅里叶展开 (Fourier expand):

$A^{(+)}(\mathbf{r}, t)=\sum_{k} c_k \mathbf{u}_k(\mathbf{r})e^{-i \omega_k t}$

自由场的展开系数 $c_k$ 为常数。频率 $\omega_k$ 对应的矢量模函数 (vector mode functions) $\mathbf{u}_k(\mathbf{r})$ 需要满足方程

$\big(\nabla^{2}+\frac{\omega_k^2}{c^2}\big)\mathbf{u}_k(\mathbf{r})=0$

模函数还需要满足横向条件 (电磁波为横波)：

$\nabla \cdot \mathbf{u}_k(\mathbf{r})=0$

这些模函数形成一个完全正交集，因此需要满足正交条件：

$\int_{V}\mathbf{u}^*_k(\mathbf{r})\mathbf{u}_{q}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\delta_{kq}$

模函数的形式依赖于边界条件。比如说，周期边界条件对应行波模式 (travelling wave modes)，反射墙 (reflecting walls) 导致驻波 (standing waves)。平面波模函数由边长为 $L$ 的立方体体积决定：

$\mathbf{u}_k(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{V}}\hat{e}^{(\lambda)}e^{i k\cdot\mathbf{r}}=L^{-3/2}\hat{e}^{(\lambda)}e^{i k\cdot\mathbf{r}}$

其中 $\hat{e}^{(\lambda)}~(\lambda=1, 2)$ 为单位极化矢量，波矢 $k$ 的三个空间分量分别是

$k_x=\frac{2\pi n_x}{L},~k_y=\frac{2\pi n_y}{L}, ~k_z=\frac{2\pi n_z}{L},~~~n_x,n_y,n_z=0,\pm1,\pm2,\cdots$

由横向条件，极化矢量 $\hat{e}^{(\lambda)}$ 要和波矢 $k$ 垂直。

将傅里叶展开系数 $c_k$ 替换为产生湮灭算子，就实现了电磁场的量子化：

$A(\mathbf{r},t)=\sum_k \Big(\frac{\hbar}{2\omega_k\varepsilon_0}\Big)^{1/2}\Big[a_k \mathbf{u}_k(\mathbf{r})e^{-i\omega t}+a_k^{+} \mathbf{u}_k^*(\mathbf{r})e^{i\omega t}\Big]$

对应的电场为

$E(\mathbf{r},t)=i\sum_k \Big(\frac{\omega_k\hbar}{2\varepsilon_0}\Big)^{1/2}\Big[a_k \mathbf{u}_k(\mathbf{r})e^{-i\omega t}-a_k^{+} \mathbf{u}_k^*(\mathbf{r})e^{i\omega t}\Big]$