齐次坐标

H.C.(Homogeneous Coordinates) are a system of coordiantes used in projective geometry
-----------即将维度升1，向量补0，点补1
概述：既能用来区分点和向量，同时也更易于进行仿射几何变换（线性几何变换）

性质：
　　1）如果实数a非零，则(x, y, x, w)和(ax, ay, az, aw)表示同一个点，类似于x/y = (ax)/( ay)。
　　2）三维空间点(x, y, z)的齐次点坐标为(x, y, z, 1.0)，二维平面点(x,y)的齐次坐标为(x, y, 0.0, 1.0)。
　　3）当w不为零时，齐次点坐标(x, y, z, w)即三维空间点坐标(x/w, y/w, z/w)；
-----------当w为零时，齐次点(x, y, z, 0.0)表示此点位于某方向的无穷远处。

image.png

优点：
1.它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。
2.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变， 点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处的过程。

在齐次坐标下，旋转/平移/仿射变换/透视变换都可以用同一个矩阵实现--这在传统笛卡尔坐标系下是不可能的

image.png

推理：
在笛卡尔坐标系下的2D和3D旋转（平移需要另加矩阵参数），可用下图公式进行表达--可以看出其在表达上的复杂性

image.png

而在齐次坐标系下，旋转，评议，仿射变换等可以用一个矩阵M来完成，如下

image.png

Similarity transformation（相似变换）

相似变换算是仿射变换的一种特殊形况.
图形在相似变换后，不改变其形状，但其位置和角度以及大小可能发生变化 -- 即相似变换可以分解为放缩，平移，旋转和翻转变换
对于矩阵的相似变换，TODO

Affine transformation（仿射变换）

即在几何中，一个向量空间进行一次线性变换+平移，变换到另一个向量空间

image.png