线性变换归纳

9.3设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的2阶矩阵构成的线性空间，对于 $V$ 的一个固定矩阵 $A$ ，定义 $V$ 的线性变换： $\sigma_A(B)=AB-BA,\forall B\in V$
证明：(1)若 $A=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 0&0\end{array}\right)$ ，则 $\sigma_A$ 的特征值都为0
(2)若 $A$ 的特征值都为0，则 $\sigma_A$ 的特征值都为0

提示：(1)设 $\sigma_A$ 的特征向量为 $B=\left(\begin{array}{cc} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{array}\right)$
(2)法一： $A^2=0$ 得 $\sigma_A^2(B)=\sigma_A(AB-BA)=A(AB-BA)-(AB-BA)A=A^2B-ABA-ABA+BA^2=A^2B-2ABA+BA^2$ 那么 $\sigma_A^3(B)=\sigma_A(A^2B-2ABA+BA^2)=A(A^2B-ABA+BA^2)-(A^2B-ABA+BA^2)A$ $=A^3B-A^2BA+ABA^2-A^2BA+ABA^2-BA^3=0$

法二： $A=0$ 显然成立，不然 $A$ 必然与 $\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 0&0\end{array}\right)$ 相似,不妨设 $P=(\alpha_1,\alpha_2)$ 使得 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 0&0\end{array}\right)$ 那么 $A\alpha_1=0,A\alpha_2=\alpha_1$ ，设 $\lambda$ 是 $\sigma_A$ 的特征值， $B$ 为对应的特征向量，则 $\lambda B=\sigma_A(B)=AB-BA$ 于是 $\lambda B\alpha_1=AB\alpha_1-BA\alpha_1=AB\alpha_1$ 若 $B\alpha_1\not=0$ 那么 $B\alpha_1$ 即 $A$ 的特征向量， $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，从而 $\lambda=0$ ，若 $B\alpha_1=0$ 则 $\lambda B\alpha_2=AB\alpha_2-BA\alpha_2=AB\alpha_2$ 若 $B\alpha_2=0$ 则 $BP=0\Rightarrow B=0$ 与 $B$ 为特征向量矛盾，那么 $B\alpha_2\not=0$ 得 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，从而 $\lambda=0$ ，证毕

9.4设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间， $\sigma$ 为 $V$ 的线性变换， $i$ 是小于 $n$ 的正整数。证明存在维数为 $i$ 的 $\sigma$ 的不变子空间。
提示：法一：先证明对于某组基下矩阵为 $J_n(\lambda)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda&1&&\\ &\lambda&\ldots&\\ &&\ldots&1\\ &&&\lambda&\end{array}\right)$ 时，取 $L(\alpha_1,\ldots,\alpha_i)$ 即可，再根据若当标准型得知一般的均成立
法二：设 $\sigma$ 在 $V$ 的基 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 下的矩阵为 $Jordan$ 形 $J$ (上三角)，则可知 $L(\alpha_1),L(\alpha_1,\alpha_2),\ldots,L(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，从而结论成立
法三：由 $Schur$ 引理，存在 $V$ 的基 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 使得 $\sigma$ 在此基下的矩阵为上三角形，即 $\sigma(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\left(\begin{array}{ccc} \lambda_1&*&*\\ &\ldots&*\\ &&\lambda_n\end{array}\right)$ 于是 $span\{\alpha_1,\ldots,\alpha_i\}$ 即可

9.7设 $L(V_n)$ 表示数域 $\mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的所有线性变换， $\sigma_1,\sigma_2\in L(V_n)$ 证明： $ker\sigma_1\subseteq ker\sigma_2$ 的充要条件为 $\exists\sigma_3\in L(V_n)$ 使得 $\sigma_2=\sigma_3\sigma_1$
提示： $\Rightarrow:$ 转化到对应矩阵 $A,B$ 再转化到 $Ax=0$ 与 $\left\{\begin{array}{c} Ax=0\\ Bx=0\end{array}\right.$ 同解即存在 $C$ 使得 $B=CA$ 即 $\sigma_2=\sigma_3\sigma_1$

9.8设 $\sigma_1,\sigma_2\in L(V,n)$ 证明 $Im\sigma_1\subseteq Im\sigma_2$ 的充要条件为存在 $\sigma_3$ 使得 $\sigma_1=\sigma_2\sigma_3$
提示： $\Rightarrow:$ 设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 为 $V$ 的基，则 $\sigma_1(\alpha_i)\in Im\sigma_1\subseteq Im\sigma_2,i=1,2,\ldots,n$ 故存在 $\beta_1,\ldots,\beta_n$ 使得 $\sigma_2(\beta_i)=\sigma_1(\alpha_i),i=1,2,\ldots,n$ 令 $\sigma_3(\alpha_i)=\beta_i,i=1,2,\ldots,n$ 则结论成立

9.9设 $V,U,W$ 是有限维线性空间， $\varphi:V \rightarrow U,\psi:W\rightarrow U$ 是线性映射。
(1)求证：存在线性映射 $\sigma:V\rightarrow W$ 使得 $\varphi=\psi\sigma$ 的充要条件是 $Im\varphi\subseteq Im\psi$
(2)设 $dimV=dimW$ 问在什么条件下，(1)中的 $\sigma$ 可以取成同构映射？并给出证明。
提示：当 $Im\varphi= Im\psi$ 时

9.11设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，若 $r(A)+r(B)<n$ 则 $A,B$ 有公共的特征值与特征向量。
$r\left(\begin{array}{c} A\\ B\end{array}\right)\leq r(A)+r(B)<n$

9.20设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换， $f(\lambda)$ 是 $\sigma$ 的特征多项式，证明： $f(\lambda)$ 在数域 $\mathbb{F}$ 上不可约的充要条件是 $V$ 无关于 $\sigma$ 的非平凡不变子空间
提示： $\Rightarrow:$ 反设有非平凡不变子空间，其基为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s(s<n)$ 将其扩充为 $V$ 的一组基 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ ，那么 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为 $\left(\begin{array}{cc} A_s&*\\ 0&A_{n-s}\end{array}\right)$ 则对应的特征多项式为 $f(\lambda)=|\lambda E-A_s||\lambda E-A_{n-s}|$ 可约

一个大系列问题

9.23设 $V$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\sigma$ 为 $V$ 的线性变换，且存在 $\sigma\in V$ 使得 $V=L(\alpha,\sigma\alpha,\ldots,\sigma^{n-1}\alpha)$ 证明：对于 $V$ 的任意线性变换 $\tau,\sigma\tau=\tau\sigma$ 的充要条件为存在多项式 $f(x)$ 使 $\tau=f(\sigma)$
提示：友矩阵可交换问题

9.24设 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 的最小多项式与特征多项式相等。证明：存在 $\alpha\in V$ 使得 $\alpha,\sigma(\alpha),\ldots,\sigma^{n-1}(\alpha)$ 为 $V$ 的基

提示：由于最小多项式和特征多项式相等，得到 $\sigma$ 的不变因子为 $1,\ldots,1,d_n(\lambda)$ ，而矩阵 $F=\left(\begin{array}{ccccc} 0&&\ldots&&-b_0\\ 1&\ldots&&&-b_1\\ &1&\ldots&&-b_2\\ &&\ldots&\ldots&\ldots\\ &&&1&-b_{n-1}\end{array}\right)$ 的不变因子与之同，故存在 $V$ 的一组基 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 使得 $\sigma(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)F$ 令 $\alpha=\alpha_1$ 那么 $(\alpha,\sigma(\alpha),\ldots,\sigma^{n-1}(\alpha))$ 为 $V$ 一组基

9.25线性变换 $\sigma$ 的特征多项式与最小多项式相等的充要条件为其特征空间都是一维的。

9.26设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在 $n$ 维列向量 $\alpha$ 使得 $\alpha,A\alpha,\ldots,A^{n-1}\alpha$ 线性无关，证明：特征子空间都是一维的。
提示：那么 $A^n\alpha=\sum_{i=1}^{n}k_iA^{i-1}\alpha$ ， $A(\alpha,A\alpha,\ldots,A^{n-1}\alpha)=(\alpha,A\alpha,\ldots,A^{n-1}\alpha)\left(\begin{array}{ccccc} 0&&\ldots&&k_1\\ 1&\ldots&&&k_2\\ &1&\ldots&&k_3\\ &&\ldots&\ldots&\ldots\\ &&&1&k_{n}\end{array}\right)$ 易知，每个特征值带入后的矩阵秩为 $n-1$ 那么，特征子空间维数为1得证

总结： $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 最小多项式与特征多项式相等 $\Leftarrow\Rightarrow$ 存在 $\alpha\in V$ 使得 $\alpha,\sigma(\alpha),\ldots,\sigma^{n-1}(\alpha)$ 为 $V$ 的一组基 $\Leftarrow\Rightarrow$ 特征子空间都是一维的 $\Leftarrow$ 互异特征值

9.30设 $V=M_n(\mathbb{P})$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的全体 $n\times n$ 矩阵关于矩阵通常运算构成的线性空间， $A\in V$ 相似于一个对角矩阵。设 $T:X\rightarrow AX-XA$ 是 $V$ 的线性变换。证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $T$ 在此基下的矩阵为对角阵。
提示：首先明白基的元素是 矩阵而不是向量，记 $E_{i,j}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列为1，其它均为0的矩阵，设 $PAP^{-1}=diag\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}=A_0$ ,考虑 $P^{-1}E_{i,j}P$ ，那么 $T(P^{-1}E_{i,j}P)=AP^{-1}E_{i,j}P-P^{-1}E_{i,j}PA=P^{-1}(A_0 E_{i,j}-E_{i,j}A_0)P=(\lambda_i-\lambda_j)P^{-1}E_{i,j}P$ 即 $T$ 在此基下的矩阵为对角矩阵

9.31设 $V$ 和 $V'$ 都是数域 $\mathbb{F}$ 上的有限维线性空间， $f$ 是 $V$ 到 $V'$ 的一个线性映射，证明：(1)存在直和分解 $V=U\oplus W,V'=N\oplus M$ 使得 $U=Kerf$ 且 $W$ 与 $M$ 同构；
(2)存在 $V$ 的一个基和 $V'$ 的一个基，使得 $f$ 在这对基下的矩阵形如 $\left(\begin{array}{cc} E_r&0\\ 0&0\end{array}\right)$
提示：待解决

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