线性代数(3)——矩阵相乘

矩阵相乘

根据Mr.Strang的教程,计算两个矩阵相乘可以有5个角度的计算方法。下面将依次陈述。

两个矩阵可以相乘的前提:左边矩阵的列数=右边矩阵的行数=n

A\times B=C

1、使用公式计算

\begin{bmatrix}
 &...& \\ 
 &row3 \\ 
 &...& 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 ...&&... \\ 
 ...&col.4&... \\ 
 ...&& ...
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 ...&...& ...\\ 
 ...&C_{34}&... \\ 
 ...&...&... 
\end{bmatrix}

其中C_{34}=A_{row3}\times B_{col.4}=a_{31}b_{14}+a_{32}b_{24}+...

C_{34}=\sum_{k=1}^n a_{3k}b_{k4}

2、从整列看

A\times B_{col.1}=C_{col.1}

即,C的列向量是A的列向量的线性组合

3、从整行看

A_{row1}\times B_{rows}=C_{row1}

即,C的行向量是B的行向量的线性组合

4、AB=sum of (col. of A) times (rows of B)

E.g. A\times B=C

 \begin{bmatrix}
 2 \\ 
 3 \\ 
 4 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 1&6 \\ 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 2&12 \\ 
 3&8 \\ 
 4&24
\end{bmatrix}

C的每一行为B的N倍,即A倍B;

C的每一列则为A的N倍,即B倍A;

E.g.

\begin{bmatrix}
 2&7 \\ 
 3&8 \\ 
4&9 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 1&6 \\ 
 0&0 \\ 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 2\\ 
 3 \\ 
4 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 1&6 \\ 
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
 7\\ 
 8 \\ 
9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 0&0\\ 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 2&12\\
3&18\\
4&24 
\end{bmatrix}

从行空间(row space)看:可以看作是B的行的线性组合。即C的每一行都通过向量[1, 6]的线;

从列空间(column space)看:C的每一列为通过向量\begin{bmatrix}
 2\\
3\\
4 
\end{bmatrix}的线;

5、Block Multiplication

\begin{bmatrix}
 A_1&A_2\\
A_3&A_4 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 B_1&B_2\\
B_3&B_4 
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
 C_1&C_2\\
C_3&C_4 
\end{bmatrix}

即将矩阵分块相乘,其中C_1=A_1B_1+A_2B_3

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