问题描述

有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数，如下图。从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来。如何走才能使得这个和尽量大，输出最大和。

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如：

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这是一个数字三角形问题，可以用记忆化搜索，也可以用递推。
首先由题意可以得到状态转移方程：d[i][j] = tri[i][j] + max(d[i + 1][j], d[i + 1][j + 1]);d[i][j] 为从 tri[i][j] 出发时（包括 tri[i][j]）能得到的最大和。
记忆化搜索

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX_N = 100 + 5;
int d[MAX_N][MAX_N];
int tri[MAX_N][MAX_N];//三角形的值
int n;

int solve(int i, int j) {
    if (d[i][j] >= 0) return d[i][j];
    return d[i][j] = tri[i][j] + (i == n - 1 ? 0 : max(solve(i + 1, j), solve(i + 1, j + 1)));
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    memset(d, -1, sizeof(d));//为了防止某个值被重复计算
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= i; ++j)
            cin >> tri[i][j];
    }
    solve(0, 0);
    cout << d[0][0] << endl;
}```
**递推**

include <iostream>

include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 100 + 5;
int d[MAX_N][MAX_N];
int tri[MAX_N][MAX_N];//简单一点可以不要这个数字，此处为了说明问题

void solve(int n) {
for (int j = 0; j <= n - 1; ++j)
d[n - 1][j] = tri[n - 1][j];//不写tri[i][j]时，就不需要这一步了
for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
for (int j = 0; j <= i; ++j)
d[i][j] = tri[i][j] + max(d[i + 1][j], d[i + 1][j + 1]);
//d[i][j] += max(d[i + 1][j], d[i + 1][j + 1]);//不用tri[i][j]时
}
}

int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j <= i; ++j)
cin >> tri[i][j];//cin >> d[i][j];
}
solve(n);
cout << d[0][0] << endl;
}```
这两种方法的时间复杂度都是o(n * n)。用递推计算的时候需要注意边界问题和计算顺序。采用记忆化搜索时，不必事先确定各状态的计算顺序，但需要记录每个状态“是否已经计算过”。