—————  第二天  —————

海盗分金币问题：

有5个海盗，获得了100枚金币，于是他们要商量一个方法来分配金币。商议方式如下：

1. 由5个海盗轮流提出分配方案。

2. 如果超过半数海盗（包括提出者）同意该方案，则按照该方案分配。

3. 如果同意该方案的人数（包括提出者）小于等于半数，则提出者要被扔到海里喂鱼，剩下的海盗继续商议分配。

4. 海盗们都是绝对理性的，以自己尽可能多获得金币为目的。但是在收益相等的情况下，会倾向把提出者扔到海里。

问：第一个海盗应该提出怎样的分配方案，才能保证自己既不被扔到海里，又能使自己利益最大化？

举一个栗子：

此时第一个海盗来提议分配方案，他说：

我要100枚金币，你们其他人一个金币也没有！

显然，其他小伙伴一致反对，结果第一个提出者被扔到了海里。

接下来轮到第二个海盗提出分配方案，他说：

我只要1个金币，剩下3个小伙伴每人33个金币！

第三个海盗反对，剩下两个小伙伴同意，同意者超过了半数（4 : 1），于是按照这个方法执行了分配。

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如何利用递归思想来简化问题呢？让我们来详细分析一下，后文把五个海盗简称为老一、老二、老三、老四、老五。

老一在提出分配方案的时候，不妨这样思考：

如果我被扔到海里了，剩下4个海盗，此时老二的最优分配方案是什么呢？

我只要在老二的分配方案上稍微增加一点，就能赢得更多的支持。

老二在提出分配方案的时候，也会这样思考：

如果我被扔到海里了，剩下3个海盗，此时老三的最优分配方案是什么呢？

我只要在老三的分配方案上稍微增加一点，就能赢得更多的支持。

老三在提出分配方案的时候，还是会这样思考：

如果我被扔到海里了，剩下2个海盗，此时老四的最优分配方案是什么呢？

我只要在老四的分配方案上稍微增加一点，就能赢得更多的支持。

整个递归过程，就像下图一样：

这个递归过程到什么时候截止呢？剩下两个人为止。

想想看，当剩下两个人的时候，是什么情形？

此时老四没有任何选择！无论他如何分配，哪怕把100枚金币都给老五，老五仍然可以反对，导致老四被扔到海里，金币全归老五所有。

由此，老三心想：老四没有最优决策，所以无论我提出什么要求，老四都一定会同意，而老五一定不同意。

由于只要超过半数同意就可以执行分配，所以老三的最优策略如下：

接下来，老二暗自寻思：如果没有我，老三能获得100枚金币，所以无论如何不会同意我。但我可以设法“笼络”老四和老五，形成 3 : 1 的局面。

在老三的“淫威”下，他们原本一个金币都得不到。我给他们一人一枚金币，好过由老三来分配，所以他们肯定会同意。

因此，老二的最优策略如下：

终于轮到老一了，老一心里琢磨：如果没有我，老二能获得98枚金币，我总不能分给他多于98枚，索性放弃他，只要剩下三人中笼络到两人，形成 3 : 2 的局面即可。

要笼络谁呢？以老二的策略，老三得不到金币，所以老三最好“伺候”。我给老三1枚，老三一定同意。

至于老四和老五，本来可以得到1枚，所以我必须比老二给的多，才能赢得支持。但我又没必要同时笼络他俩，要么给老四两枚金币，放弃老五，要么给老五两枚金币，放弃老四。

因此，老一的最优策略如下：

由于海盗数目增加到7人，原本的老大顺延成为老三，原本的老二顺延成为老四......大家注意这里不要混淆。

如何把两种分配结果进行聚合呢？

在剩余5个海盗的情况下，要么老六得到两枚金币，老七没有金币；要么老六没有金币，老七得到两枚金币。从概率学的角度来分析，这两种情况发生的几率各占50%，所以老六和老七的平均收益都是1枚金币。

这样一来，老二就变得容易分析了。老二想要形成 4:2 的局面，他该怎么分配呢？

如果没有自己，老三可以得到97枚，所以老三直接放弃掉。

剩余5个海盗时，老四得不到金币，所以给老四一枚就可以拉拢，很好伺候。

剩余5个海盗时，老五、老六、老七的平均收益都是1枚，但我们只要拉拢其中两人就行。所以其中一人没有金币，另外两人各自给两枚。这样就形成了一个排列组合：

2， 2， 0

2， 0， 2

0， 2， 2

因此，老二自己保留的金币数量是 100 - 2 - 2 - 1 = 95。完整的分配方案有3种，如下图所示：

接下来，为了分析老大的策略，我们仍然需要把上面三种情况聚合一下。

对于老五、老六、老七，他们各自有三分之二的几率得到两枚金币，有三分之一的几率得不到金币。所以他们的收益平均值是 2 * 2/3 = 1.33 枚金币。

这样一来，老大也变得容易分析了。老大想要形成 4:3 的局面，他该怎么分配呢？

如果没有自己，老二可以得到95枚，所以老二直接放弃掉。

剩余6个海盗时，老三得不到金币，所以给老三一枚就可以拉拢，很好伺候。

剩余6个海盗时，老四的收益是1枚，老五、老六、老七的平均收益是1.33枚，但无论1枚还是1.33枚，给他们两枚金币都是可以拉拢的。我们只要拉拢其中两人就行，所以其中两人没有金币，另外两人各自给两枚。这样又形成了一个排列组合：

2， 2， 0， 0

2， 0， 2， 0

2， 0， 0， 2

0， 2， 2， 0

0， 2， 0， 2

0， 0， 2， 2

因此，老一自己保留的金币数量是 100 - 2 - 2 - 1 =95。完整的分配方案有6种，比较复杂，这里就不用图片表示了，直接列出表格：

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