准备知识：拓扑同胚的定义

设有 $X,Y$ 两个空间，如果存在双射 $f$ ，满足 $f$ 和 $f^{-1}$ 都是连续的，称为为 $X,Y$ 同胚。
在同胚下保持不变的性质，称为拓扑不变性。
【例：紧性，连续性，分离性，连通性质，开集维数】

微分流形的定义

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分解：拓扑空间 $M$ 存在一个开覆盖 $U = \cup X_{\alpha}(U_{\alpha})$ ,其中 $U_{\alpha}$ 是 $R^n$ 中的开集，映射 $X_{\alpha}:U_{\alpha}\rightarrow X_{\alpha}(U_{\alpha})$ 是同胚的。
相容性：对于任意的 $\alpha,\beta\in \Lambda$ ,如果两个坐标卡之间的交集非空，我们我们就需要他们之间存在一个光滑的转换映射。
对于前面两点而言，这样一个坐标图册是极大的。

微分流形的定义是：
一个 $n$ 维微分流形是一个拓扑空间，其中的每一个点都有一个邻域，这个邻域与 $n$ 维欧几里得空间同胚，并且在局部坐标系之间的转换是光滑的。

映射的可微性

设有映射 $f: E^m \rightarrow E^n$ 。如果在空间 $E^m, E^n$ 中分别取定直角坐标系后，表示映射 $f$ 的 $n$ 个 $m$ 元实函数是 $r$ 次连续可微的，则称 $f$ 是 $r$ 次连续可微的。任意次连续可微的映射 $f: E^m \rightarrow E^n$ 称为从欧氏空间 $E^m$ 到 $E^n$ 的光滑映射。
光滑映射 $f: E^m \rightarrow E^n$ 的一个重要的不变量是它在各点的秩。设 $A \in E^m$ ，对应的坐标是 $(x_0^1, \cdots, x_0^m)$ ，则映射 $f$ 在点 $A$ 的秩定义为表示映射 $f$ 的 $n$ 个 $m$ 元光滑函数 $f^a(x^1, \cdots, x^m)$ 的 Jacobi 矩阵

$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f^1}{\partial x^m} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f^n}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f^n}{\partial x^m} \end{bmatrix}$

在点 $(x_0^1, \cdots, x_0^m)$ 的秩。很明显，上述 Jacobi 矩阵的秩在 $E^m, E^n$ 的直角坐标变换下是不变的的。

几个微分流形的例子：

欧氏空间 $R^n$ 是以恒同算子作为坐标卡的一个光滑流形。
$R^n$ 中的开集是微分流形
①实线性群 $GL(n,R)=\{A_{n \times n}| det A\neq 0\}$ 是一个微分流形。
其中 $n$ 阶矩阵线性空间视为 $R^{n^2}$ 的特例
$R^n$ 中的简单光滑曲线，曲面是微分流行。
标准球面，环面【甜甜圈，汽车轮胎】

标准球面上的流形结构

$n$ 维标准球面 $S^n = \{(x_0, x_1, \cdots, x_n) | \sum_{i=0}^{n} x_i^2 = 1\} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ 。
由于 $\mathbb{R}^{n+1}$ 是 Hausdorff 空间，球面 $S^n$ 作为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的拓扑子空间也是 Hausdorff 空间。

设 $N = (1, 0, \cdots, 0), S = (-1, 0, \cdots, 0)$ ，令

$V_1 = S^n - \{N\}, \quad V_2 = S^n - \{S\}$ 。

利用球极投影，有映射 $X_1 : \mathbb{R}^n \rightarrow V_1, \quad X_2 : \mathbb{R}^n \rightarrow V_2,$

$X_1(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \frac{1}{1 + |y|^2} (|y|^2 - 1, 2y_1, \cdots, 2y_n),$

$X_2(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \frac{1}{1 + |y|^2} (1 - |y|^2, 2y_1, \cdots, 2y_n)$ 。

其中， $y = (y_1, y_2, \cdots, y_n) \in \mathbb{R}^n, \quad |y|^2 = \sum_{i=1}^{n} y_i^2$ 。

球极投影

相容性

由于 $X_1(\mathbb{R}^n) \cap X_2(\mathbb{R}^n) \neq \varnothing$ ，坐标变换 $X_2^{-1} \circ X_1 : \mathbb{R}^n - \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^n - \{0\},$

其中转换映射 $X_2^{-1} \circ X_1(y) = \frac{y}{|y|^2}$

是 $C^\infty$ 的。所以， $\{(X_1, \mathbb{R}^n), (X_2, \mathbb{R}^n)\}$ 给出了球面 $S^n$ 的一个坐标图册。

实射影平面 $\mathbb{RP}^2:{所有在R^3中通过原点的直线}$

①它是 $R^3$ 中的方向的集合[不区分正负，相当于半个球面]。
②要在 $\mathbb{RP}^2$ 中引入微分结构，令 $(x,y,z)\in R$ .则 $P^2(R)为R^3模去 \{0,0,0\}$ 的商空间，由等价关系 $(x,y,z)\sim (\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ ,所以 $P^2(R)$ 中的点为 $[x,y,z]$ 。
定义 $P^2(R)$ 中的集合 $V_1,V_2,V_3$ ,对它们分别定义映射
其中
$V_1=\{[x,y,z], x\neq 0\}$ $f_1(u,v)=[1,u,v]$
$V_2=\{[x,y,z], y\neq 0\}$ $f_2(u,v)=[u,1,v]$
$V_3=\{[x,y,z], z\neq 0\}$ $f_1(u,v)=[u,,v,1]$
后续我们子只需要说明坐标图册之间的相容性，也就是转换映射是光滑的即可。

两个流形之间的映射及其可微性

假设 $M_1, M_2$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维微分流形。给定点 $p \in M_1$ 和映射 $\varphi : M_1 \longrightarrow M_2$ ，设 $X(U)$ 和 $Y(V)$ 分别是点 $p$ 和点 $\varphi(p)$ 的一个参数化且满足 $\varphi(X(U)) \subset Y(V)$ 。若映射

流形之间的映射

$Y^{-1} \circ \varphi \circ X : U \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$
在点 $X^{-1}(p)$ 处是 $C^\infty$ 的，则称 $\varphi$ 在点 $p$ 处是光滑的(如上图)。如果 $\varphi$ 在 $M_1$ 上处处是 $C^\infty$ 的，则称映射 $\varphi$ 是光滑映射（smooth map）。

切向量与切空间

光滑曲线光滑函数：特别地，若 $M$ 是一个微分流形，我们称光滑映射 $\alpha : (-\varepsilon, \varepsilon) \subset \mathbb{R} \longrightarrow M$ 为 $M$ 上的一条光滑曲线(smooth curve)；
称光滑映射 $f : M \longrightarrow \mathbb{R}$ 为 $M$ 上的一个光滑函数。记 $M$ 上所有光滑函数的全体为 $\mathscr{D}(M)$ 。
M为可微流形， $\alpha(-\epsilon,\epsilon) \rightarrow M$ 是 $M$ 中的一个可微曲线，设 $\alpha(0)=p\in M$ 。那么曲线在在 $p$ 的导数值 $\alpha'(0)$ 就是一个切向量。

直观理解：切向量 $\alpha'(0)$ 衡量的是当沿着曲线 $\alpha$ 运动时，函数 $f$ 的变化率。想象在一个地形（流形 $M$ ）上， $f$ 可以是表示海拔高度的函数，曲线 $\alpha$ 是一个人行走的路径。那么 $\alpha'(0)(f)$ 就是这个人在经过点 $p$ 时，海拔高度的变化速度。