星图杨乐期末叙事--《实数》

在很多年以前，有一次数学危机，当时人们都认为万物皆数，即任何一个数都为有理数，也就是任何一个数可以写成整数或整数之比。如:2=2：1，0.5=1：2。但希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线并不能用整数或整数之比表示，如果把对角线的长设为a，根据勾股定理可得a²=1²+1²=2，那么问题来了a²=2,a=多少?这是一个问题，但通过初一的学习我们知道x²中x可能是一个正数或负数。但通过我们浅显的知识还无法准确的表示出a。所以，通过估算的方法。首先，1.5²=2.25，2.25>2，所以a<1.5，1.4²=1.96，1.96<2，所以a>1.4，所以a的范围是1.4<a<1.5。

所以，我们需要发明一个符号来表示这类数，数学史发展到现在，数学家们已经发明了这个符号，形式如“ $\sqrt[y]{x}$ ” ，并给出了明确的命名。

如果一个正数的平方为a(a≥0）即x²=a，这个x就叫做a的算术平方根，记作 $\sqrt[2]{a}$ 或者 $\sqrt[]{a}$ ，读作根号a，结果为正， $\sqrt{a}$ 实际省略了二次根号a中的指数2，但对于其他次数的开根号运算就不能省略了。比如三次根号27的写法是 $\sqrt[3]{27}$ 的3是无法省略的。

由x²=a可得负数没有算术平方根，根号0的算术平方根就是0.

如0.09的算术平方根为0.3。因为0.3²=0.09，所以0.09的算术平方根0.3。即 $\sqrt{0.09}$ =0.3。

那么在求开根号的结果时我们遗漏了负数，因为互为相反数的平方结果相同。比如： $2^2$ = $（-2）^2$ =4。所以我们定义：

如果一个数x的平方等于a（a≥0)即x²=a。那么这个数x就叫做平方根，也叫做二次根式。记作± $\sqrt{a}$ ，读作正负根号a，负数没有平方根。 $\sqrt{0}$ =0。

既然我们已经知道了如何表示。那么，它们能比较大小吗？我想算术平方根是可以比较的，因为它的值是确定的。而平方根有两个值，无法直接比较。在比较 $\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 中， $\sqrt{4}$ 是2， $\sqrt{9}$ 是3，2<3，通过观察式子发现，比较两个根式形式的正的无理数的大小，其实就是比较根号下的数字，谁大，结果就大。比如4＜9，所以 $\sqrt{4}$ ＜ $\sqrt{9}$ 。

那么最后一步就是要知道如何给实数计算了，首先， $\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}$ = $2\sqrt{2}$ 表示的意思是一个 $\sqrt{2}$ 加上一个 $\sqrt{2}$ 也就等于二倍的 $\sqrt{2}$ 。但是 $\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$ 中，我想它是无法计算的，因为 $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{2}$ 它们都是最简形式，而且基准不同，我也通过查阅资料，证明了这个猜想。

但是 $\sqrt{8}$ + $\sqrt{2}$ 可以计算吗？首先， $\sqrt{8}$ 可以写成 $\sqrt{2×2×2}$ = $2\sqrt{2}$ ，所以 $\sqrt{8}$ + $\sqrt{2}$ = $3\sqrt{2}$ 。所以通过这一个问题，可以知道一个算术平方根是另一个算术平方根的次方数时，我们先将其改写成最简形式，就可以知道这个算式能不能继续运算了。

那么，平方根的乘除是不是也同理呢?让我们暑期一起探索吧。

图片发自简书App

最后编辑于：2019.06.28 18:32:05