傅里叶梅林变换（Fourier-Mellin）

目前有一系列的点 (x_i, y_i), i = 1, \cdots, n 每个点的位置上有对应的特征记为 f(x_i, y_i)，经过旋转 \theta、缩放 \alpha、平移 (x_t, y_t)变成另外一些点 (a_i, b_i)，这些点上的特征为 g(a_i, b_i)，考虑到变换的时候存在噪声，因此有
\begin{aligned} g(a_i, b_i) &= f(\alpha (x_i \cos\theta + y_i \sin\theta) + x_t, \alpha(-x_i \sin\theta + y_i \cos\theta) + y_t) + n \\ &= f(x_i', y_i') + n \end{aligned}

目前要根据观测到的一系列f(x_i, y_i)和g(a_i, b_i)，得到旋转 \theta、缩放 \alpha、平移 (x_t, y_t)

该优化问题变成如下形式
\max \quad p(\theta,\alpha,x_t,y_t|g(a_0, b_0), \cdots, g(a_n, b_n),f(x_0, y_0), \cdots, f(x_n, y_n))

根据贝叶斯公式有
\begin{aligned} p(\theta,\alpha, x_t, y_t|g, f) &= \frac{p(g|\theta,\alpha, x_t, y_t, f)p(\theta,\alpha, x_t, y_t)}{p(g|f)} \\ &\propto p(g|\theta,\alpha, x_t, y_t, f) \end{aligned}

假设噪声为高斯分布
p(\theta,\alpha, x_t, y_t|g, f) \propto p(g|\theta,\alpha, x_t, y_t, f) = \frac{1}{\sigma\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{(g - f)^2}{2 \sigma^2}}

假设每个观测位置噪声独立同分布
\begin{aligned} &\max \prod_{i=1}^n p(\theta,\alpha, x_t, y_t|g(a_i, b_i), f(x_i, y_i)) \\ \Rightarrow &\max \prod_{i=1}^n e^{-\frac{(g(a_i, b_i) - f(x_i', y_i'))^2}{2 \sigma^2}} \\ \Rightarrow &\max e^{-\frac{\sum_{i = 1}^n (g(a_i, b_i) - f(x_i', y_i'))^2}{2 \sigma^2}} \\ \Rightarrow &\min \sum_{i = 1}^n (g(a_i, b_i) - f(x_i', y_i'))^2 \\ \Rightarrow &\min \sum_{i = 1}^n g(a_i, b_i)^2 + \sum_{i = 1}^n f(x_i', y_i')^2 - 2\sum_{i = 1}^n g(a_i, b_i)f(x_i', y_i') \end{aligned}

考虑到在固定源和目标点对的情况下\sum_{i = 1}^n g(a_i, b_i)^2 + \sum_{i = 1}^n f(x_i', y_i')^2为常数，因此优化问题变为
\max \sum_{i = 1}^n g(a_i, b_i) f(x_i', y_i')

这意味着两组特征的相关最大是在高斯噪声下的匹配问题最优解，为了简化问题，这里首先考虑最简单的特征亮度，这样情况下，特征向量变成标量，这里首先对原始信号进行N(N \ge n)个点的离散傅里叶变换DFT（既后面补上N - n个0）有
G(p, q) = \sum_{n = 1}^N \sum_{m = 1}^M g(n, m) e^{-j2\pi\big[\frac{(p - 1)(n - 1)}{N} + \frac{(q - 1)(m - 1)}{M}\big]}

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