指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质练习路径设计20190324

目标掌握三种函数的解析式以及有关常数在不同范围内取值时函数的图像和性质。
特别注意：
当a>0时
$\log _{a} f(x)<\log _{a} g(x) \Leftrightarrow 0<f(x)<g(x)$
当 $0<a<1$ 时
$\log _{a} f(x)<\log _{a} g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)>0$

本练习采用了艾华升老师的设计
1.函数 $y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$ 的图像大致为

image.png

解：函数有意义，需使

e^{x}-e^{-x} \neq 0

，，其定义域为

\{x | x \neq 0\}

，排除C、D，又因为

y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{2 x}-1}=1+\frac{2}{e^{2 x}-1}

，所以当x>0时，

e^{2 x}

为增函数，所以原函数为减函数.
选A.
点评：解答本题，首先是弄清函数的定义域，重点是会化解析式为可分析形式，表现为解析式里只有一个地方含自变量x.

2.若 $\log _{2} a<0,\left(\frac{1}{2}\right)^{b}>1$ ，则( )
A.a>1,b>0
B.a>1,b<0
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0

解：
由 $\log _{2} a<0$ 得 $\log _{2} a<\log _{2} 1$ 。
由 $\left(\frac{1}{2}\right)^{b}>1$ 得 $\left(\frac{1}{2}\right)^{b}>\left(\frac{1}{2}\right)^{0}$
因为 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 在R上是减函数，所以 $b<0$ 。
选D

点评：若 $y=f(x)$ 在区间D上是增函数，则
$\left\{\begin{array}{l}{x_{1}<x_{2}} \\ {x_{1} \in D \Leftrightarrow f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)} \\ {x_{2} \in D}\end{array}\right.$

若 $y=f(x)$ 在区间D上是减函数，则
$\left\{\begin{array}{l}{x_{1}<x_{2}} \\ {x_{1} \in D \Leftrightarrow f\left(x_{1}\right)> f\left(x_{2}\right)} \\ {x_{2} \in D}\end{array}\right.$

3.若函数 $y=f(x)$ 是函数 $y=a^{x}(a>0，且a\neq 1)$ 的反函数，其图象经过点 $(\sqrt{a}, a)$ ,则 $f(x)=$ （）
A. $\log _{2} x$
B. $\log _{\frac{1}{2}} x$
C. $\frac{1}{2^{x}}$
D. $x^{2}$
解：由函数 $y=f(x)$ 是函数 $y=a^{x}(a>0，且a\neq 1)$ 可知 $f(x)=\log _{a} x$ 又其图像经过点 $(\sqrt{a}, a)$ 所以 $a=\frac{1}{2}, f(x)=\log _{\frac{1}{2}} x$
选B

4.设 $\alpha \in\left\{-1,1, \frac{1}{2}, 3\right\}$ 则使函数 $y=x^{a}$ 的定义域为R且为奇函数的所有 $\alpha$ 的值为（）
A.1,3
B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
答案：A
5.已知定义在R上的偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数，且 $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，则不等式 $f\left(\log _{4} x\right)>0$ 的的解集为（）
A. $\{x | x>2\}$
B. $\{x | 0<x<\frac{1}{2}\}$
C. $\left\{x\left|0<x<\frac{1}{2}或x>2\right.\right\}$
D. $\left\{x\left|\frac{1}{2}<x<1或x>2\right.\right\}$
答案:C

6.函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x$ 的图像关于( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称
D.直线y=x对称
答案:C

7.若 $x \in\left(\mathrm{e}^{-1}, 1\right), a=\ln x, b=2 \ln x, c=\ln ^{3} x$ ，则（）
A.a<b<c
B.c<a<b
C.b<a<c
D.b<c<a
答案:C
8.若 $f(x)=\frac{1}{2^{x}-1}+a$ 是奇函数，则 $a=$ ____
答案： $a=\frac{1}{2}$

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质练习路径设计20190324

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