说明：2017年，文科数学与理科数学的全国卷A立体几何大题使用了完全相同的模型，第1问相同，但第2问不同。所以我们放在一起讨论。
2017年文科数学全国卷A题18
如图，在四棱锥 中，
，且
（1）证明∶平面 平面
;
（2）若 ，且四棱锥
的体积为
，求该四棱锥的侧面积.
2017年文科卷A和理科卷A使用同一个模型
2017年理科数学全国卷A题18
如图，在四棱锥 中，
，且
（1）证明∶平面 平面
;
（2）若 ，求二面角
的余弦值.
【解答第1问】
因为 , 且
，
所以 , 而
, 所以
平面
.
又因为 平面
, 所以 平面
平面
.
模型展开图
【解答文数第2问】
因为 平面
.
，所以
平面
.
所以 .
因为 ，
所以
而且，这是三个全等的等腰直角三角形.
所以 .
是等边三角形，
是矩形。
四棱锥 的平面展开图如下图所示。
所以
该四棱锥的侧面积
注意三角形MAC
【解答理数第2问】
作 中点
，并连接
.
因为 ，
所以
所以， 是等腰直角三角形；
是等边三角形。
所以， .
是平面角。
令 , 则
根据余弦定理，
二面角 的余弦值为
.
【提炼与提高】
2017年全国卷A的这两个题难度较低，适合备考初期练手。
注意仔细读题。文数卷题目要求的是侧面积，不是表面积；矩形 的面积不包括在内。不注意这点可能被扣分。
理数卷第2问求二面角的余弦，是很常规的考法。假如与2016年全国卷A的立体几何大题相比，2017年的这个题难度实在是太低了。
求二面角的大小有三条基本的思路：
1）求平面角；
2）根据面积比求二面角的余弦；
3）向量法；
本题用第一种思路，结合余弦定理，即可解决。
总结一下本题中涉及的考点：
『二面角与平面角』
『三线合一』
『余弦定理』
【相似考题】
