第九章 动态规划part10
300.最长递增子序列
今天开始正式子序列系列，本题是比较简单的，感受感受一下子序列题目的思路。
文章讲解
思路
- 注意：子序列是可以跳过几个元素的，不一定下标是连续的，比如
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
- dp[i]的定义
本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度 - 状态转移方程
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
在内循环中，如果 nums[i] > nums[j]，我们更新 dp[i] 的值：
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
- 这一步的意思是，如果 nums[i] 能够接在 nums[j] 之后，我们更新 dp[i] 为 dp[j] + 1 和 dp[i] 的最大值。即我们在考虑所有可能以 nums[j] 结尾且可以接上 nums[i] 的子序列，选出其中最长的一个。
- 结果更新
每次内循环结束后，更新全局结果 result，确保记录下目前为止找到的最长递增子序列的长度：
if (dp[i] > result) result = dp[i];
- dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1. - 确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
外循环：for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
对每个元素 nums[i]，我们考虑它作为子序列的结尾元素。
内循环：for (int j = 0; j < i; j++)
对于每个 i，我们检查从 0 到 i-1 的所有元素 nums[j]。
如果 nums[i] > nums[j]，这意味着 nums[i] 可以接在 nums[j] 后面，形成一个更长的递增子序列。 -
举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
image.png
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int len = nums.length;
if(len <= 1) return len;
int[] dp = new int[len];
Arrays.fill(dp, 1);
int result = 0;
for(int i = 1; i < len; i++){
for(int j = 0; j < i; j++){
if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
result = Math.max(dp[i], result);
}
return result;
}
}
674. 最长连续递增序列
本题相对于昨天的动态规划：300.最长递增子序列 最大的区别在于“连续”。 先尝试自己做做，感受一下区别
文章讲解
思路
- 注意，本题中的子序列是连续的，即是说数组下标连续
动归五部曲
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。确定递推公式
如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。
即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;dp数组如何初始化
以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
所以dp[i]应该初始1;确定遍历顺序
从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。-
举例推导dp数组
已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：
image.png
class Solution {
public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
if(nums.length == 0) return 0;
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp, 1);
int result = 1;
for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
if(nums[i] > nums[i - 1]) dp[i] = dp[i - 1] + 1;
if(dp[i] > result) result = dp[i];
}
return result;
}
}
718. 最长重复子数组
思路
- 注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。
动归五部曲
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。确定递推公式
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！dp数组如何初始化
根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。-
举例推导dp数组
拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：
image.png
滚动数组
我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。
也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。
此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int len1 = nums1.length;
int len2 = nums2.length;
int result = 0;
int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
for(int i = 1; i < len1 + 1; i++){
for(int j = 1; j < len2 + 1; j++){
if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
result = Math.max(dp[i][j], result);
}
}
}
return result;
}
}
// 版本二: 滚动数组
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int[] dp = new int[nums2.length + 1];
int result = 0;
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[j] = dp[j - 1] + 1;
} else {
dp[j] = 0;
}
result = Math.max(result, dp[j]);
}
}
return result;
}
}
