深耕厚植  厚积薄发

                    -----代数初步的教学策略 

      小学从第二学段开始接触代数内容，又称“代数初步”。 “代数初步”的内容是如何体现代数思维；学生在学习这部分内容中的主要困难是什么；在此基础上如何更好地进行教学呢？以下从三个问题的角度进行分析和阐述。

      一、“代数初步”主要内容分析及代数思维

      小学阶段代数初步内容包括式与方程和正比例、反比例，而式与方程又包括字母表示数和方程两部分。

    《标准》指出，代数学习的一个重要核心词是“符号感”，主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。

      在《标准》修订中，提出了“符号意识”的核心词，符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道符号可以进行一般性的运算和推理。

      代数思维与算术思维的区别在于：1.从具体到抽象，运用符号可以进行一般性的运算和推理。从单纯的数字计算到类型计算，以前每次只能解决一个问题，而现在一下子可以解决一类问题。2.从关注按程序计算出结果到关注关系和结构。例如5+3从算术思维关注的结果是8，而代数思维关注的是5+3与8的相等关系。

      代数思维的基本特征是用符号表示规律，表示量与量之间的相等代数思维的基本特征是用符号表示规律，表示量与量之间的相等关系、不等和变化关系；通过符号和符号之间的运算来“一类一类”解决问题，进行一般性的运算和推理。代数思维确实有着独特的内涵和价值，学生从熟悉算术思维到接触代数思维确实是一个飞跃，需要我们加以重视和研究。

      二、学生学习的困难点及相应的教学策略

      1.字母表示数的教学策略

      字母表示数是代数学习的重要环节，理解字母表示数的意义是学习代数的关键，也是运用代数式、方程、不等式、函数等进行交流的前提条件。       

      困难点（1）字母不仅可以表示任意数，还可以表示一种关系。

      如“数青蛙”儿歌，学生会出现：a只青蛙a张嘴，a只眼睛a条腿；或者a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿的想法，主要是学生对于“字母表示的量之间存在着关系”理解有困难，另外，在一个情境中，同一个字母表示相同的量，所以，如果用a表示任意只青蛙，2a不仅可以表示任意只青蛙的眼睛数，同时表示了眼睛数与青蛙数的关系，4a不仅可以表示任意只青蛙的腿数，同时表示了腿数与青蛙数的关系。

      困难点（2）代数式既表示运算过程，又表示运算结果。

      如：如果用a和b分别表示长方形的长和宽，则周长是2（a+b）,学生疑惑不解：“周长到底是多少，还没算出来呀？”再如：妈妈的年龄比儿子大28岁，如果用a表示儿子的年龄，那么妈妈的年龄可以用a+28表示，同样的学生会认为这不是一个结果。

      学生对于字母表示数需要多角度的理解，同时，学生的理解水平学生对于字母表示数需要多角度的理解，同时，学生的理解水平往往不稳定，出现“一会儿清楚一会儿糊涂，今天清楚明天糊涂”的情况，并且学生对于字母表示数理解的差异也比较大。这就提醒我们学生需要经历一个长期的过程，在教学中认识到学生出现的困惑和不稳定状态是正常现象，不断的设计有价值的问题促进学生的理解，不可心急。

      2.方程的教学策略

        困难点（1）寻找出情境中的等量关系，并将此关系“翻译”成方程。

      运用方程解决问题，学生将经历两次“转化”：第一次，将情境中蕴含的等量关系转化为“自然语言表达的等式”；第二次，将“自然语言表达的等式”用数学符号加以表达，转化为方程。这个过程，学生面临两大挑战。第一，能否寻找出等量关系并加以“翻译”；第二，能否主动运用方程来解决问题。

      对于第一个挑战，可以鼓励学生通过画图、操作模拟等手段“再对于第一个挑战，可以鼓励学生通过画图、操作模拟等手段“再现”等量关系，或者鼓励学生用两种不同的方式表示同一个量。如孙维刚老师的做法：选择一个量，用两种方式加以表达，中间连一个等号，方程即列成。例：学校买了4个篮球和5个足球共花了200元，已知每个篮球20元，每个足球多少元？首先设每个足球x元。选择共花的钱，两种方式表达：4×20+5x和200，画上等号，方程即可。再比如：选择5个足球，两种方法表达：5x和200-4×20，画上等号即可等等，这样就把知识学活了。对于第二个挑战，学生不习惯用方程而习惯用算术，其原因有二：一是等量关系比较简单的情况下，学生不愿意列方程，反而觉得方程的步骤比较复杂；二是学生不习惯代数的方法，不习惯新的思维的方式。

      为帮助学生“习惯”运用方程解决问题，教师可以采取以下策略：（1）先“翻译”，再解决。如：妈妈买4听饮料和1袋饼干共花了11.4元，1袋饼干3.6元，一听饮料多少元？在教学中老师不妨先不提出要解决的问题，让学生思考、发现题中的等量关系，运用自然语言和符号加以表示，再提问题加以解决。（2）运用方程解决一些稍复杂的实际问题。如：小刚家九月份用水12吨，比八月份节约了1/7，八月份用水多少吨？这道题用方程解比用算术法更好理解。（3）提早渗透代数思维——“关系”。如一年级就出现7+（ ）=10，又如二年级学习乘法口诀出现7×2=6×2+（ ），这些都引导学生关注运算式子中所存在的“关系”。

      困难点（2）解方程的多种解法。

      是用加、减、乘、除各部分的关系，还是用等式的性质来解方程，一直是个争论的问题。加、减、乘、除各部分的关系是算术思维，书写比较简单。等式的性质体出现了代数的思维，关注的是方程的结构和关系，与中学解方程的方法是一致的。

      笔者认为两种方法各有利弊，都可以，根据自己的喜好选择。利用等式的性质思考简单，只要看到加一个数，就减一个数，看到乘一个数，就除以一个数，就可以抵消了。利用各部分关系需要记得东西多，熟了就简单了。

      3.正反比例的教学策略

      正反比例是正比例函数、反比例函数的雏形，是刻画现实世界的重要模型之一，同时是小学阶段渗透函数思想的重要内容。

      困难点（1）判断两种相关联的量是否成比例，是正比例关系还是反比例关系。          如：判断“圆的面积与圆的半径成正比例关系。”不少学生认为此题正确，他们认为正比例的关系就是商一定，但没有关注到什么与什么的商。实际上圆的面积与圆的半径的平方的商是一定的。再如“一本书，已看的页数和未看的页数成反比例。”已看页数+未看页数=总页数（一定），和一定的情况下是不成比例的。

        困难点（2）正反比例的多重表示方法：语言描述法、表格法、图像法、解析式法。

        如：正方形周长与边长的关系

表格

图像（正比例图像）

解析式C=4a

语言描述（正比例关系）

      《标准》要求使学生经历在具体情境中抽象正、反比例的过程，认《标准》要求使学生经历在具体情境中抽象正、反比例的过程，认识正、反比例关系，并且利用图的形式直观表示两个成正比例的量的关系。在实际教学中，教师们要创设多种情境，鼓励学生发现情境中变化的量是什么，变量之间的依赖关系是什么，从而抽象出正反比例。

      多维教学目标的达成离不开教师对数学核心概念有清晰的认识和准确的把握，这就需要我们对教学中每个内容有深入的分析，挖掘其背后的价值，为学生长远发展奠定重要的基础。