数是抽象的观念，它并不在自然中对我们现身。当我们说水的时候，我们知道水是什么，当我们说红的时候也知道红对我们意味着什么，但数是什么呢？当我们说一的时候，是什么意思呢？
“一”是个动作，是我用手指向某物，但我为何要做这动作呢？我是做给他者(另外一个我)看的，“瞧，此物”。这就意味着一种整全性，我无法用手指同时指向0-1之间所有的实数，我指向的是一个整全的对象，我并没有指向部分，除非你要求我澄清。
弗雷格在《算术基础》中问1+1=2意味什么？它不可能是两个月亮相加。世界上也不可能找到两个相同的月亮。
那么1、和1是什么呢？
1是用手指，1是再用手指，1就是count这个动作。
据说在某些原始部落，人们没有超过数字3的概念，他们没法像我们这样数数，他们只能这样：
“1，2，3，3，3，……”
但，假如我们去和这些原始部落中的人做交换，我们能糊弄他们吗？
我们用玻璃珠和他们换珍珠，我们能用3颗玻璃珠，换来比如100颗珍珠吗？
这当然不可能。原始人只是缺乏对数字的命名，没有像我们那样定下加法口诀表，但这并不意味着他们没有算术技术。
比如他们可以用一个玻璃珠和一个珍珠配对，当1 vs 1都配好对了，我们拿走珍珠，他们拿走玻璃珠。
当然这是极其原始的算术技术，但把石头、米粒或小木棍摆放在地上确实给数字一个直观的印象。
必须用不同的东西count，或者空间分离，或者在时间的序列上间隔。count就是数数，数数是用不同的东西数，把石头一个个摆开就是在数数，虽然没有命名，但已经在数了。
1+1是count, count 这个动作，我们对count, count的命名是2，这就是1+1=2. 而count, count, count 我们命名为3。这背后的基础是生活，我们过某种合作的生活导致我们发明了count, count, ... 这种计数技术。它可能用于交换，拿走一个果子，我们就摆一块石头，再拿走一个，再摆一块，....
小孩学数学的第一步是背诵，1, 2, 3, 4,…这就是对count, count,...的命名。n+1= n+1 表示count n次后，再count一次。n+1对n而言是唯一确定的，而且n+1不同于之前任何一个count, 这里我们需要不同的命名，如此定义的对象将像“不闭合的珠链”一样无尽伸展出去。
加法表其实就是对加法的定义。
1+1=2 2+1=3 ...
1+2=3 2+2=4
...
这么一直加下去，我们应如何表示呢？
首先我们无法给所有的数字命名，十、百、……亿、甚至Googol。
但+1这个动作可以永远做下去。
这里我们需要的是一种记数的技术，比如科学计数法：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
这是所有的个位数，再+1就是10。
10是一个新的计数单元，如果是石头，我们就把它们搓成一堆，然后继续count
56，表示有5个10，再加上6个1。
用科学计数法写就是：
$56 = 5 \times 10^1 + 6$
10个10是100，我们记作：
$100 = 10^2$
按照这个思路，我们就可以表示很大的数，
比如1Googol，就是1后面跟着100个零，这要写出来是很长的，但现在就是：
$1 \times 10^{100}$
科学计数法最早是阿基米德发明的，现在作为一个练习，我们也来研究下。
问题是这样的，
在古人的观念里，天有几重，金、木、水、火、土，土星天基本就是天的边界了。假设天就是以土星轨道所在的圆球为边界的，我们来算一算整个天可以容纳下多少沙子。
这个问题可以转述为更为现代的版本，今天的宇宙论也宣称宇宙是有限的，其大小是大约150亿光年，这个数字老在变，和科学家的观测有关，也和科学家所采纳的理论体系有关。作为普通人把这个数字记下来，而且追求知道最新的数字，则纯属蛋疼。
算术技术就是要解决这样的问题，假设沙子的半径是0.1mm，已知土星距离太阳的平均距离是大约9.5个天文单位（1天文单位就是地球到太阳的平均距离），我们来算算天里可以装多少颗沙子……
首先这个颗数是有限的，肯定会算出个具体的数字来，可能不是很准，但相对误差也不会大。
其次这将是个很大的数，我们怎么把这个数表示出来给你看，如果用摆石头的方法，像原始人那样，就不可行了，理论上我们将需要比天大得多的一个平面才能把石头一个一个摆开。
使用科学计数法，我们就能把这个数计算、并简洁地写下来。
最多一行。
……
我们其实可以做不同的对加法的定义的，比如我们规定：
1+1=2, 1+2=3, ..., 1+N=1，……
这是一个闭合珠链的结构，珠链上面有N个珠子，正好count过N次后，我们将重新从第1个珠子开始。
这种算术结构用来做生意肯定是不合适的，但比如我们要计算固体的能带，我们就把固体假想为这种闭合珠链式的结构，所谓“玻恩-卡门边界条件”。然后，第1个珠子和第N个珠子是相邻的。
这又好比是一堆人，比如8个围着一圆桌吃饭，我的右边是某某，再往右是谁，然后我们说到了极右，右到不能再右了，原来就在我的左边。
count是无尽重复的动作，人的时间感与人自身的节律有关，比如心跳、脉搏。人所处的生活世界也充满了“节律”，太阳的东升西落是最明显的，这也是count，所有的重复都可以是count，我们可以用刀在树上刻痕，来count过去的日子，甚至我们还可以把星星在星空中的位置与树上的刻痕关联起来，这些都会帮助人形成时间感，即把记忆安置在一个前后有序的结构中，有了时间，我们就有了历史，即一种带着结构的叙事。
我们有两种时间的结构，分别对应我们刚刚陈述过的两种算术，第一种结构是无始无终的，而第二种则是一种循环式的结构，所有的事情，转一圈后又重新开始。
但物是人非。
传说毕达哥拉斯的算术是在沙子上画标记或者使用小石子在地上摆出来的。
摆石头子会把算术和几何联系起来。
比如毕达哥拉斯把1，3，6，10……称作三角形数，因为这么些颗石头子正好能摆成一个正三角形。
由三角形数，我们可归纳出如下公式：
$\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{(1+n)n}{2}$
比如他把1，4，9……称作平方数，由观察平方数我们可得到这样的规律：
$n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$
这意味着：
$1 + 3 + ... + (2n -1) = n^2$
1，8，27……称作立方数。
平方数和面积的计算有关，而立方数则和体积的计算有关。
……
算术技术和丈量土地有关，算术技术也和军事有关。
最简单的，我方有多少士兵，需要多少给养，这些数字必须知道，必须能玩儿得转。
算术技术跟后勤有关，也跟指挥作战有关。
古代打战需要列成阵势，左、中、右三个战线，互相配合，为了防止侧翼被包抄，防止战线被切割分裂，己方的左、中、右，要和对方的右、中、左能对的上位，而且相互间缝隙还不能太大。
这些都需要计算，
部队需要排成几行？战士和战士之间的间距是多少？部队展开的正面有多宽？等等。
如果我们相信古人的记载的话，古代战争的规模是很大的，比如希波战争，根据希罗多德的记载，波斯全军人数达到了528万3220人。
我的评论是：首先这个数字太大了，大到超出我的想象，其次如此准确的数字，是怎么得到的。
这里面肯定有夸张的成分，但同时也说明古人确实掌握了计算大数的技术，这个技术是构建复杂政治秩序，管理、统帅百万大军的前提。
不论中外古今，算术都是学生学习的基础。
在柏拉图的理想教育中算术是第一门需要学习的科目，在中国古代六艺中，算术是“礼、乐、射、御、书、数”中的“数”。
帖木儿在1402年夏侵入奥斯曼土耳其帝国，在与土耳其苏丹决战前，帖木儿在锡瓦斯平原进行了阅兵。
“一定数量的骑兵手持红旗，他们的护胸、马鞍、鞍垫、箭筒、皮带、长矛、盾牌和战棍都是红色的。另外还有黄色和白色的军团。还有身着锁子铠甲的军团和穿着护胸铁甲的军团。”
根据《武功记》的记载，帖木儿时期的河中突厥人生来就具有良好的军纪，队伍的编排不需用口令，队形是在敲鼓或吹号之前就排好了的。
可以想象，在阅兵的时候，各个军团排成整齐的方阵，100行100列就是1万人。假如战士和战士之间相隔1.5米，一个100乘100的方阵就是150米见方的一个方块。假设方阵和方阵间间隔50米，100个方阵首尾相连就是20公里。如果100个方阵也排成10乘10的规格，就是2公里宽，2公里深的大方块。
阅兵的目的是提升士气，同时也是对己方实力的一个直观感受，部队的规模和实力体现为视觉的冲击力，一个方阵接一个方阵，个个衣着华丽，生龙活虎，参谋人员则可通过count各个方阵的行、列数目，很快计算出全军的精确人数。
百万人规模的大会战在古代世界并不罕见，同时几乎没有明显超过百万人规模的。
帖木儿和土耳其苏丹的决战是百万规模的。亚历山大与波斯国王的高加米拉会战也是百万规模的。中国古代的淝水之战则是接近百万规模的。
会战的指挥员需要一览全局，而会战的规模就由指挥员的视野决定，指挥员可以把指挥所设在几十米的小山上，或登上特制的指挥车——楼车。
根据我们的计算，
站立的人，视野是半径4.6公里。
在10多米的小山上，视野会一下增加到半径十几公里。
站在景山上，不到50米高，视野是半径25公里。
