高计及stata应用陈强版第6章_最大似然估计

如果回归模型存在非线性,可能不方便使用OLS,这时采用最大似然估计法(MLE)或非线性最小二乘法(NLS)

6.1 最大似然估计法的定义

  1. 似然函数(likelihood function)的公式:
    \mathtt{L}(\theta;\boldsymbol{y_1},...\boldsymbol{y_n})=\prod_{i=1}^nf(\boldsymbol{y_i}:\theta)
    含义:抽样之前\left\{\boldsymbol{y_1},...\boldsymbol{y_n}\right\}是随机向量,抽样之后\left\{\boldsymbol{y_1},...\boldsymbol{y_n}\right\}有了特定的样本值,可以将样本的联合密度函数看做在\left\{\boldsymbol{y_1},...\boldsymbol{y_n}\right\}给定的情况下,未知参数\theta的函数,即似然函数解决的问题是:我们抽到的这个样本最有可能来自参数\hat\theta_{ML}为什么值的总体呢?或者说我们要找到一个参数\theta,使得我们观测到这个样本的概率最大。
    备注:一般为了计算方便,对似然函数做取对数,将乘积形式转化为和的形式的处理
  2. 似然函数的得分函数
    在数学上,常把最大似然估计量\hat\theta_{ML}写为:
    \hat\theta_{ML}\equiv argmax ln\mathtt{L}(\theta;\boldsymbol{y})求一阶条件,有:
    得分函数.jpg
    该一阶条件被称为“得分函数(score function)”或“得分向量(score vector)”如果似然函数正确,则得分函数在\theta=\theta_0处的期望为0,即:
    \mathbb{E}\left[\boldsymbol{s}(\theta_o;\boldsymbol{y})\right]=0

6.2 线性回归模型的最大似然估计

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