2020-05-08

mmc模型流图

记某状态下的服务强度为，则，，.......，即

建立平衡状态下的K氏代数方程，有

  • 0状态下\lambda P_0= \mu_1 P_1，故P_1= \frac \lambda{\mu_1} P_0=\rho_1P_0
  • 1状态下\lambda P_1= (\mu_1+\mu_2) P_2，故P_2= \frac \lambda{\mu_1+\mu_2} P_1=\rho_2P_1=\rho_2\rho_1P_0
    ......
  • n状态下 P_n=\rho_n\rho_{n-1}...\rho_1 P_0
    由\sum_{n=0}^\infty P_n=1，可得
    \begin{equation}\begin{split} 1&=P_0+P_1+...P_c+... \\ &=P_0[1+\rho_1+\rho_1\rho_2+...+\rho_1...\rho_c+\rho_1...\rho_c\rho_c+...]\\ & =P_0[1+\rho_1+\rho_1\rho_2+...+\rho_1...\rho_c+\rho_1...\rho_c(\rho_c+\rho_c^2+...+\rho_c^n+...)]\\ &=P_0[1+\rho_1+\rho_1\rho_2+...+\rho_1...\rho_c+\rho_1...\rho_c*\sum_{n=1}^\infty\rho_c^n]\\ &=P_0[1+\rho_1+\rho_1\rho_2+...+\rho_1...\rho_c+\rho_1...\rho_c*\frac {\rho_c}{1-{\rho_c}}]\\ \end{split}\end{equation}
    因此P_0 =\frac 1 {1+\rho_1+\rho_1\rho_2+...+\rho_1...\rho_c+\rho_1...\rho_c*\frac {\rho_c}{1-{\rho_c}}}
    P_n= \begin{cases} \rho_n\rho_{n-1}...\rho_1*P_0, &n<=c \\ \rho_c^{n-c}\rho_c\rho_{c-1}...\rho_1*P_0, &n>c \end{cases}
  • 系统队长的期望值
    \begin{equation}\begin{split} L&=\sum_{n=0}^\infty n*P_n\\ &=\sum_{n=1}^{c-1}n\rho_n\rho_{n-1}...\rho_1P_0+\sum_{n=c}^\infty n\rho_c^{n-c+1}\rho_{c-1}...\rho_1P_0\\ &=\sum_{n=1}^{c-1}n\rho_n\rho_{n-1}...\rho_1P_0+\rho_c^{2-c}\rho_{c-1}...\rho_1P_0\sum_{n=c}^\infty n\rho_c^{n-1}\\ &=\sum_{n=1}^{c-1}n\rho_n\rho_{n-1}...\rho_1P_0+\rho_c^{2-c}\rho_{c-1}...\rho_1P_0 {\frac d{d\rho_c}}\sum_{n=c}^\infty \rho_c^n\\ &=\sum_{n=1}^{c-1}n\rho_n\rho_{n-1}...\rho_1P_0+\rho_c\rho_{c-1}...\rho_1P_0 {\frac {c-c\rho_c+\rho_c}{(1-\rho_c)^2}} \end{split}\end{equation}
  • 请求响应时间W=\frac L\lambda
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