——对基坐标方程的理解

摘要

本文从伽利略变换中参考系与坐标、速度的相对性等相对现象开始，建立了基底、描述量和反变关系的概念，将对某种属性的度量值称为描述量，将度量描述量时所必须依赖的对象称为基底，将两个对象间一个正变化另一个就反变化的关系称为反变关系。通过类比单位换算给出了基坐标方程，并使用该方程来刻画基底与描述量的关系。通过一个简单的推导，得到了反变关系的矩阵表示。
接着，应用这些概念对一些常见的基底和描述量进行了分析，其中，对曲线方程和曲线图像的关系，作者只给出了尝试性的解释，还存在一些问题仍未解决。

从一个简单的现象开始

我们曾经学过伽利略变换，当一个坐标系 $O'(x',y',z',t')$ 相对于坐标系 $O(x,y,z,t)$ 以牵连速度 $v$ 沿 $x$ 轴正半轴前进时，从新坐标系 $O'$ 的视角去观察，物体的坐标将变为 $\left\{ \begin{array}{} x'=x-vt\\ y'=y\\ z'=z \end{array} \right.$ 我们从中观察到一个现象，当坐标系 $O'$ 相对于坐标系 $O$ 是正向移动时，物体在坐标系 $O'$ 上的坐标值却要减去这个移动量。物体的坐标是相对于原点而言，原点向左移动了，物体坐标相对的也就向右了，这和经典物理学里的相对运动的思想是一致的。要描述一个物体的速度，必须选择某个参考系，物体的速度依赖于参考系。我们在行驶的车上会看到两边的建筑物在向后运动，可是建筑物明明是静止在地面上的，这个现象也说明，速度具有相对性。
我们把坐标系 $O'$ 相对于坐标系 $O$ 正向移动的过程抽象出来，称为对坐标系进行了变换 $L$ ，把物体在坐标系 $O'$ 上的坐标值减去这个移动量的过程也抽象出来，称为物体的坐标被施加了变换 $L^{-1}$ 。
对坐标系进行了变换 $L$ ，而物体的坐标却要被施加变换 $L^{-1}$ ，我们把这种相对现象抽象出来，一个依赖于某个基底的描述量随着基底的变化而反向变化，其中，某种属性的度量值称为描述量，度量描述量时所必须依赖的对象称为基底，将两个对象间一个正变化另一个就反变化的关系称为反变关系。
描述量与基底间的反变关系是普遍的吗？让我们尝试回答这个问题。

基坐标方程

为了更快的给出基坐标以及坐标变换的公式，我们将通过类比单位换算来给出。我们在换算单位时，可以列出这样一个方程 $(量1)*(单位1)=(量2)*(单位2)$
从而在已知量1和单位的情况下可解得量2是多少。对于坐标变换我们也可以给出一个类似的方程 $(基1)(坐标1)=(基2)(坐标2)$ 这样，同样可以在已知原坐标和新旧基之间关系的时候求出坐标2了。如果用矩阵表示，我们把基向量用行向量表示（也可以写成列向量的转置），把坐标用列向量进行表示（这是习惯），于是基与坐标关系可用一个方程来刻画 $E_1X_1=E_2X_2$ 其中 $E$ 代表一组基， $X$ 代表一组坐标，分别对应着基底和描述量，我们将使用这个基坐标方程来刻画基底与描述量的关系。当我们用数学的矩阵方程来表述这种关系时，这一切将显得十分简洁而优美，后文将尽量使用矩阵方程代替自然语言的叙述。

基底与描述量的反变关系

我们现在把开头的例子中的坐标系理解为一个基底，并用行向量 $E$ 表示，把物体的位置坐标理解为描述量 ，并用列向量 $X$ 表示，把坐标系O的正向移动理解为对坐标系进行了变换 $L$ （对行向量的变换写到其右边），同时将旧量的下标置为1，将经过了变换 $L$ 的新量的下标置为2。对基底进行正变换即 $E_2=E_1L$ 为了推导描述量 $X$ 将如何变换，我们将上式代入基变换方程，同时考虑到 $L$ 与 $L^{-1}$ 互为逆变换，得到 $E_1LL^{-1}X_1=E_1X_1=E_2X_2=E_1LX_2$
进而 $E_1LL^{-1}X_1=E_1LX_2$
显然有 $X_2=L^{-1}X_1$ 也就是说，基底经过变换 $L$ 后，描述量将经过逆变换 $L^{-1}$ ， $L$ 与 $L^{-1}$ 是互为逆变换的，反过来说也可以，要得到进行变换 $L$ 后的描述量，可以将基底进行逆变换 $L^{-1}$ 。 我们使用了矩阵来证明基底与描述量的反变关系，过程十分简洁。

常见的基底与描述量

基底和描述量是成对出现的，哪些是基底，哪些是描述量？下面给常见的几对

线性空间里的基向量组和该空间内的向量
单位和数量(一维数轴)、参考系和运动量
平面直角坐标系里的原点和坐标点
笛卡尔坐标系（空间）上的函数方程和函数图像，或者更普遍的，曲线方程和曲线图像（点的坐标）
其他

我们的基坐标方程正是由线性空间里的基向量组和该空间内的向量之间的关系而建立起来的，它们是基底和描述量这两个概念的代表。而单位和数量、参考系和运动量则是生活中常见，其反变关系也是明显的。
在平面直角坐标系里，原点和坐标点的反变关系是很直观的，但是曲线方程和曲线图像的反变关系就不那么明显了，需要讨论。另外，笛卡尔坐标系与函数方程还具有同变关系，这也不明显，需要讨论。

情况 1）笛卡尔坐标系与函数方程具有同变关系；
曲线方程 $F$ 实际上是坐标系内各分量之间的一种约束关系，我们对其所在的笛卡尔坐标系 $E$ 进行变换 $L$ ，方程 $F$ 也伴随着发生同样的变换 $L$ 。
举个例子，首先，我们绘制出在笛卡尔坐标系 $O$ 上的二次方程 $F_1$ 的曲线图像，为简单起见，假设该曲线方程 $F_1$ 为 $y-x^2=0$ ；然后对坐标系 $O$ 施加平移变换 $L$ ，观察新坐标系 $O'$ 下的曲线方程。

图1 坐标系与函数方程的同变关系举例

新曲线方程 $F_2$ 为 $y-b-(x-a)^2=0$ ，这和坐标系进行的平移变换是一致的。

情况 2）曲线方程和曲线图像具有反变关系；
我们中学曾学习过图象变换，学过所谓的“左加右减、伸除缩乘”，要把曲线图像向右平移一个单位，那么曲线方程中的 $x$ 要减去一个单位。使用动点代入法可以求解曲线图像经过伸缩变换后的新曲线方程，结论也确实是“左加右减、伸除缩乘”。但这是为什么呢？笔者没有很好的解释方法，只是提出一种尝试。
首先，回顾函数图像是如何绘制的，在一个平面坐标系里，我们使用坐标来一一对应空间的点，坐标由两个数构成，分别代表在x轴和y轴的分量的多少，将点向左平移一个单位，就是把它的x坐标减去一个单位，它们之间是同变的，或者说对图像的操作实际上就是对图像上每个点的坐标进行操作，它们是等价的。对于空间中的线，就不能只使用一个坐标来刻画了，一条线包含了无数的点，但是在同一条线上的点，它们所对应的坐标是特殊的，它们的x坐标与y坐标之间存在着某种约束关系，例如y坐标都是x坐标的k倍，或者是幂次、指数、三角等关系。这样一条线就可以用一条约束关系来表示了，使用集合的形式也就是 $\{(x,y)|F_1<x,y>=0\}$ 只有那些坐标能满足约束方程的那些点才能被算作是该线的点，从而线的图像也就绘制出来了。这样约束方程和曲线也一一对应起来了。
接着，让我们试着让方程发生改变，看看曲线将如何变化，反过来操作道理也是一样的。假设，我们在方程里的 $x$ 前添加系数2（变换 $L$ ），变成 $\{(x,y)|F_1<2x,y>=0\}$ ，这样，原来的曲线上的点的坐标就不能满足新方程了，它们的 x 坐标太大了，被扩大了 2 倍，于是曲线上每个点的 x 坐标都要缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（变换 $L^{-1}$ ），这样代入后就可以满足方程了。让我们进一步观察方程中的 $x$ ，它首先被外部的添加了系数2，然后为了继续满足原方程的约束关系，它自己内部要乘于 $\frac{1}{2}$ ,也就是 $原x = 2 *(\frac{1}{2}* x)$ ，于是新的坐标 $x' =\frac{1}{2} * x$ ，这条式子既是新旧坐标的变换式，也是图像变换的坐标含义，而且对于每一个坐标点都要做这样的变换。
这就是为什么对方程式的变量做变换 $L$ ，而图像上每个点的坐标都要做变换 $L^{-1}$ 的原因，因为这样就相互抵消掉了，使原约束关系的等号仍然成立，对方程式的变量做的变换 $L$ 是外部的，是显而易见的，而对坐标的变换 $L^{-1}$ 是内部的，是隐含的。在动点代入法中，得到这些理解是容易的，但依然缺乏几何的相对性的直观，笔者希望有一种几何的直观理解，如速度的相对性般直观。

图2 坐标系和坐标、方程与图像的同变异变关系示意图

计算举例

例题1，求单位圆经过伸缩变换 $\phi:{x'=2x}$ (将所有点的横坐标变成原来的两倍) 后的方程
思路,对于坐标点的伸缩变换,反解即为对坐标系的伸缩变换,对坐标系的伸缩变换与方程是同变的.
反解有 $\phi^{-1}:{x=1/2x'}$ (这条式子的意义是,对坐标系的x轴进行压缩) ,将此式代入原方程即可

例题2, 将sin(x)变成sin(wx+b),求其图像应如何变换?
思路,方程的变换与坐标系的伸缩变换与是同变的,图像变换即坐标变换,坐标系与坐标是反变的,只要反解方程变换,就可以得到图像变换.(或者直接说方程与图像是反变的)
上式 $\phi^{-1}:{x=wx'+b}$ 就是对x轴进行伸缩变换,而图像各点坐标是以坐标系的基底的,也就是说是反变关系,那么反解出 $\phi:{(x-b)/w=x'}$ 也就是坐标变换式,也就是图像要向左b单位,然后横坐标缩为原来的1/w倍.

例题3,将k为1的反比例系数函数的图像顺时针旋转45°,写出旋转后的方程
分析:将图像顺时针旋转45°,相对的,就是将坐标系逆时针旋转45°,而坐标系与方程是同变的.
对于1式 $y=1/x$
写出坐标系的变换式(类似于赋值),R为逆时针旋转45°的旋转矩阵
$\phi:X=RX'$
即
$\left\{ \begin{array}{} x=sin(r) x'+cos(r) y'\\ y=cos(r) x'-sin(r) y' \end{array} \right.$
将45°代入方程有
$\left\{ \begin{array}{} x=\frac{1}{\sqrt2}(x'- y')\\ y=\frac{1}{\sqrt2}(x'+y') \end{array} \right.$
将上式代入1式,整理有 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$

有了矩阵工具后,应用基坐标方程揭示的反变关系,理解题目中对象的同变关系,我们可以对直角坐标系内任意曲线进行各类操作,它们的图像和方程都是明了的
上面只举例了在数轴,平面上的应用,在三维空间同样是适用的,至于提到的线性空间里的基向量组和该空间内的向量则是可以一直推广到无限维的,我们对各维的基底和描述量都可以进行各种操作.线性空间的向量并不局限于数字,凡是满足8条运算律的对象,都可以构建起线性空间.

一个小遐想

对于一维数轴上的单位换算,描述量1乘于单位1=描述量2乘于单位2=无量纲的新量3(似乎是绝对量),这个新量有什么含义?
如果把数轴变成时间轴,其单位是一段时间长度,1min=60s,我们定义某些速度是往往需要以时间作为分母,那如果要定量时间的流速呢?假设时间的流速并不是宇宙空间每一处都完全均匀的,那要用什么单位去描述时间的流速呢?一个尝试是,假如一个物理变换过程的量是以时间流速相关的,比如每1单位的时间流速就变动k个单位,那么就可以根据同一个过程的物理变换的量的比例来反映两地的时间流速比例
$\frac{a地的物理变化量}{b地的物理变化量}=a对b的相对时间流速(换算比例)$
如果不存在某种"通用货币",即不同时间流速只可能是在相对比较中得到的,例如a地是b地的两倍,c地是a地的两倍,但同时c地也是a地的两倍,它们内部是不一致的,这个时候是不是又只有相对的换算比例?
$\frac{a地的时间流速}{b地的时间流速}=a对b的相对时间流速(换算比例)$
时间的外部流速是一回事,假如再引入主观感受流速,或者感受能力,对于同样的外部的时间流速,感受时间能力强的人认为,时间好像过的挺慢的.
$\frac{外部时间流速}{感受能力}=主观时间流速$
在各国货币里,我们应该也要有一个中心货币,不然可能导致缺乏一致性,而有一条路子可以仅仅通过不断的换币就导致数量的增减bug.

文章后面的疑问

一、在叙述基坐标方程和反变关系时，基底 $E$ 被写成是各基向量的列向量组，对它的变换 $L$ 写在右边，这严谨吗，合法吗？反变关系那里的证明是不是玩文字游戏，或者十分不严谨，所以才如此简洁？

二、另外，本文故意忽略了线性变换和变换之间的区别，使用矩阵来描述的变换应该是线性的情况，虽然平移可以通过升维构造为线性的，但是还有其他很多变换，也一样满足基坐标方程吗？如果不满足，该如何修正？

三、对于笛卡尔坐标系（空间）上的曲线方程和曲线图像（坐标点），它们的基底和描述量关系、它们的同变、反变关系的，如何去证明？它们真的适用基底和描述量的关系吗？还是仅仅单纯具有某种反变关系？