2019-04-04_极限2_典型错误分析

1.一个量的平方再开方

例子：

$\lim_{x\to∞} x(x+\sqrt{x^2+2})$

$=\lim_{x\to∞}\frac{x(x^2-x^2-2)}{x-\sqrt{x^2+2}}$

$=\lim_{x\to∞}\frac{-2x}{x-\sqrt{x^2+2}}$

$\lim_{x\to∞}\frac{-2}{1-\sqrt\frac{{x^2+2}}{x^2}} ,x\rightarrow+∞ = +∞$

$\lim_{x\to∞}\frac{-2}{1+\sqrt\frac{{x^2+2}}{x^2}} ,x\rightarrow-∞ = -1$

故极限不存在

2.乘积的极限等于极限的乘积的条件：每个因式的极限都存在

例子：

$\lim_{x\to2}(x^2-4)\cos \frac{1}{x-2} = 0$

这里 $\lim_{x\to2}\cos \frac{1}{x-2}$ 不存在，故不能用该法则

应应用有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小

复习：

$\lim \frac{b}{a} = 0$ 称b是a的高阶无穷小

$\lim \frac{b}{a} =∞$ 称a是b的高阶无穷小

$\lim \frac{b}{a} = c$ 称a是b的同阶无穷小，当c=1，a和b是等价无穷小

$\lim \frac{b}{a^k} = c$ 称b是a的k阶无穷小

运算法则：

（1）有限个无穷小相仍为无穷小

（2）高阶无穷小与低阶无穷小相加等于低阶无穷小

（3）m阶无穷小乘n阶无穷小等于m+n阶无穷小

（4）有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小

3.对于相加的项数随着n增大趋于无穷的极限，通常：

（1）先求和，再求极限

(2）夹逼准则

（3）

4.求极限时使用等价无穷小的条件：

（1）被代换的量，在去极限的时候极限值为0。

（2）被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

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