高等数学(八)多元函数微分学

第一节重极限、连续、偏导数、全微分

二元函数

z=f(x,y)

二元函数的极限

$\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( x_0,y_0 \right)}f\left( x,y \right) =A$

$\left( x,y \right) \rightarrow \left( x_0,y_0 \right)$ 是以“任意方式”
一元函数的局部有界性、保号性、有理运算、极限与无穷小的关系、夹逼性可以推广到二元函数
在二元函数中没有洛必达法则

例题1

1、 $试求\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( 0,0 \right)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}$
$\text{由于}0<\left| \frac{xy^2}{x^2+y^2} \right|<x\text{，}$
$\text{因此原函数极限为}0（夹逼原理）$

例题2

2、 $\text{试证明}\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( 0,0 \right)}\frac{xy}{x^2+y^2}\text{不存在}$
$\lim_{y=kx,x\rightarrow 0}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{y=kx,x\rightarrow 0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}$
$\text{说明过原点的直线斜率不同，趋向}\left( 0,0 \right) \text{的极限也不同}$
$\text{因此极限不存在}$

一般来说，对于二元函数极限，分子和分母最高次相同不存在，分子比分母高阶等于0，分子比分母低阶无穷

多元函数的连续性

连续的概念

$\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( x_0,y_0 \right)}f\left( x,y \right) =f\left( x_0,y_0 \right)$

连续函数的性质

性质1 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数
性质2 多元连续函数的复合函数也是连续函数
性质3 多元初等函数在其定义区域内连续
性质4 （最大值定理）有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得最大值和最小值
性质5 （介值定理）有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得介于最大值和最小值之间的任意值

多元函数连续性性质与一元函数的类似

偏导数

$\frac{\partial f}{\partial x}\mid_{\begin{array}{c} x=x_0\\ y=y_0\\ \end{array}}^{}=f_x\left( x_0,y_0 \right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0+\Delta x,y_0 \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta x}$
$\frac{\partial f}{\partial y}\mid_{\begin{array}{c} x=x_0\\ y=y_0\\ \end{array}}^{}=f_y\left( x_0,y_0 \right) =\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0,y_0+\Delta y \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta y}$

有的时候如果先求偏导再代值可能会很麻烦，可以先带值再求偏导会简单很多

即：
$\frac{\partial}{\partial x}f\left( x,y_0 \right) \mid _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0}^{}=f_x\left( x_0,y_0 \right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0+\Delta x,y_0 \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta x}$
$\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{y}}f\left( x_0,y \right) \mid _{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}_0}^{}=f_y\left( x_0,y_0 \right) =\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0,y_0+\Delta y \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta y}$

二元函数偏导数的几何意义

高阶偏导数

$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=f_{xx}\left( x,y \right)$
$\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=f_{xy}\left( x,y \right)$
$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}=f_{yx}\left( x,y \right)$
$\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=f_{yy}\left( x,y \right)$

定理1 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}$ 和 $\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}$ 在区域D内连续，则在该区域内
$\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}$

全微分

$\text{若}\Delta z=f\left( x+\Delta x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) =A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y+o\left( \rho \right) \text{则称函数}\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x,y} \right) \text{在点}\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right) \text{处可微，d}z=A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y\text{，其中}\rho =\sqrt{\left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2}$

定理2 （可微的必要条件）如果 $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x,y} \right)$ 在点 $\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right)$ 处可微，则在点 $\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right)$ 处，则 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且 $\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$

用定义判定可微的一般方法

$f_x\left( x_0,y_0 \right)$ 和 $f_y\left( x_0,y_0 \right)$ 都存在
$\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( x_0,y_0 \right)}\frac{\Delta z-\left[ f_x\left( x_0,y_0 \right) \Delta x+f_y\left( x_0,y_0 \right) \Delta y \right]}{\left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2}=0$

定理3 （可微的充分条件）如果 $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x,y} \right)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right)$ 处连续，则函数 $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x,y} \right)$ 在点 $\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right)$ 处可微

连续，可偏导及可微之间的关系

多元应该与一元对照起来

一元函数：

可导→连续
可导⇌可微
可微→连续

多元函数：

可偏导和连续没有关系
可微→可偏导
可微→连续
偏导数连续→可微

第二节多元函数微分法

复合函数微分法

求法

设 $u=\varphi \left( x,y \right) ,\,\,v=\psi \left( x,y \right)$ 在点 $\left( x,y \right)$ 处有对x及对v的偏导数，函数 $z=f\left( u,v \right)$ 在对应点 $\left( u,v \right)$ 处有连续偏导数，则 $z=f\left[ \varphi \left( x,y \right) ,\,\,\psi \left( x,y \right) \right]$ 在点 $\left( x,y \right)$ 处的两个偏导数存在，且有
$\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$
$\frac{\text{d}z}{\text{d}y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\text{d}u}{\text{d}y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}y}$

这个公式不能死记硬背，需要用树形图来推导

全微分形式的不变性

设函数 $z=f\left( u,v \right)，u=\varphi \left( x,y \right) ,\,\,v=\psi \left( x,y \right)$ 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 $z=f\left[ \varphi \left( x,y \right) ,\,\,\psi \left( x,y \right) \right]$ 在点 $\left( x,y \right)$ 的全微分
$\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\text{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\text{d}v=\frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y$

隐函数微分法

由方程F=(x,y)确定的隐函数y=y(x)

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{F_{x}^{�}}{F_{y}^{�}}$

由方程F=(x,y,z)确定的隐函数z=z(x,y)

隐函数存在定理：若 $F\left( x,y,z \right)$ 在点 $\left( x_0,y_0,z_0 \right)$ 的某一领域内有连续偏导数，且 $F\left( x,y,z \right)=0$ ，== $F_{z}^{'}\left( x,y,z \right) \ne 0$ ==，则方程 $F\left( x,y,z \right)=0$ 在点 $\left( x_0,y_0,z_0 \right)$ 的某领域可唯一确定一个有连续偏导数的z=z(x,y)，并有
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$

隐函数存在定理最重要的是打高亮部分的，题设是对z的偏导数，若对x的偏导数为不等于0的话，则是x关于y和z的函数，对y类似

第三节多元函数的极值与最值

无约束极值

定义

若在点 $\left( x_0,y_0 \right)$ 的某领域内恒成立不等式 $f\left( x,y \right) \le f\left( x_0,y_0 \right)$ （ $f\left( x,y \right) \ge f\left( x_0,y_0 \right)$ ），则称f在点 $\left( x_0,y_0 \right)$ 处取得极大值（极小值），点 $\left( x_0,y_0 \right)$ 称为f的极大值点（极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点

极值的必要条件

设 $z=f\left( x,y \right)$ 在点 $\left( x_0,y_0 \right)$ 存在偏导数，且 $\left( x_0,y_0 \right)$ 为 $f\left( x,y \right)$ 的极值点，则
$f_x\left( x_0,y_0 \right) =f_y\left( x_0,y_0 \right) =0$

极值的充分条件

设 $z=f\left( x,y \right)$ 在点 $P_0 \left( x_0,y_0 \right)$ 的某领域内有二阶偏导数，又 $f_x\left( x_0,y_0 \right) =f_y\left( x_0,y_0 \right) =0$ ，记 $A=f_{xx}\left( x_0,y_0 \right) ,\,\,B=f_{xy}\left( x_0,y_0 \right) ,\,\,C=f_{yy}\left( x_0,y_0 \right)$ ，则

$AC-B^2>0\,\,\text{时具有极值，且}A>0\text{时具有极小值，}A<0\text{时具有极大值；}$
$AC-B^2<0\,\,\text{时没有极值；}$
$AC-B^2=0\text{时可能有极值也可能没有极值，需另作讨论}\left( \text{一般用定义} \right)$

条件极值与拉格朗日乘数法

函数f(x,y)在φ(x,y)=0条件下的极值

令
$L\left( x,y \right) =f\left( x,y \right) +\lambda \varphi \left( x,y \right)$
得到方程组
$\left\{ \begin{array}{l} F_x = f_x\left( x,y \right) +\lambda \varphi _x\left( x,y \right) =0\\ F_y = f_y\left( x,y \right) +\lambda \varphi _y\left( x,y \right) =0\\ F_\lambda = \varphi \left( x,y \right) =0\\ \end{array} \right.$
求解出(x₀,y₀)可能是极值点

函数f(x,y,z)在φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0条件下的极值

同上
$L\left( x,y,z,\lambda ,\mu \right) =f\left( x,y,z \right) +\lambda \varphi \left( x,y,z \right) +\mu \psi \left( x,y,z \right)$

最大最小值

求连续函数f(x,y)在有界闭区域D上最大最小值

求f(x,y)在D内部可能的极值点
求f(x,y)在D的边界上的最大最小值(条件极值)
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